Para começar o estudo do eletromagnetismo é importante estudarmos o conceito de campo magnético associado a uma carga elétrica.

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Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico. Tal força dependia não só da posição da partícula mas também da velocidade de seu deslocamento e essa força ganhou o nome de Força Magnética. Assim, em todo ponto do espaço existem duas quantidades vetoriais que determinam a força resultante que atua sobre uma carga: uma delas é a força elétrica, sendo independente do movimento da carga e é possível descrevê-la em termos do campo elétrico (como já foi estudado); a outra é uma componente adicional chamada Força Magnética. Quando falamos de campo magnético, percebe-se algumas características próprias quando temos cargas em movimento. Pode-se resumir da seguinte forma:

Para entendermos melhor esse comportamento vamos introduzir a variável chamada vetor indução magnética representada pela letra ^→B. Dessa forma, podemos definir força magnética pela equação a seguir:

Como temos um produto vetorial entre dois vetores, então temos como resultado um terceiro vetor que é ortogonal (ângulo de 90°) aos outros dois vetores. Na Figura 74-01 vemos uma representação espacial de como é esse produto. Observe que os vetores ^→v e ^→B podem formar ângulo diferente de 90° entre si. Porém, o ângulo entre eles e a força magnética sempre será 90°. Para determinarmos o sentido da força magnética usamos a regra da mão direita, conforme ilustra a Figura 74-01. Observe que os dedos da palma da mão apontam na direção do vetor velocidade. Ao fechar a mão em direção ao vetor campo indução magnético, o dedo polegar aponta na direção e sentido da força magnética. Atente para o fato que isto é válido quando a partícula possui carga positiva. Para carga negativa, basta inverter o sentido da força.

A eq. 74-01 é conhecida como a forma vetorial da força magnética. Quando estamos trabalhando com quantidades escalares podemos escrever essa equação da seguinte forma:

onde θ representa o ângulo entre os vetores ^→v e ^→B e varia de 0 < θ < π. Uma conclusão que obtemos da eq 74-02, é que se uma carga elétrica se move paralelamente ao campo indução magnético ela não sofre força magnética, pois o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor campo magnético é igual a zero, pois como sabemos sen 0° = 0.

Portanto, podemos afirmar que a força resultante à qual uma carga elétrica está submetida, será a soma da força elétrica com a força magnética. Dessa forma, podemos escrever que:

A eq. 74-03 representa a chamada Força de Lorentz, equação esta importantíssima do eletromagnetismo.

Cabe ressaltar que a unidade de medida do vetor indução magnético é o Tesla, equivalendo a 10 000 gauss ou ,Weber/ m².

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  2.1   Partícula Carregada em um Campo Magnético

Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade constante podemos afirmar, com toda a certeza, de que existe uma força de módulo constante agindo sobre a partícula e aponta para o centro da circunferência, mantendo-se perpendicular à velocidade da partícula. Podemos pensar em uma carga se movimentando em uma região onde existe um campo indução magnético, como representado na Figura 74-02.

A direção e sentido da força magnética está perfeitamente definida pela regra da mão direita, conforme explicado acima.

Naturalmente que há interesse em determinar os parâmetros que caracterizam o movimento circular dessa partícula que possui carga |q|, massa m e que se move com velocidade ^→v perpendicularmente a um campo indução magnético ^→B. Temos conhecimento da força magnética, dada pela eq 74-02, e sabemos que a segunda lei de Newton (F = m a) aplicada ao movimento circular representa a força centrípeta. Neste caso, para a partícula permanecer em um movimento circular as duas forças devem ter o mesmo módulo. Logo, podemos escrever a seguinte igualdade:

Trabalhando essa equação, facilmente determinamos o raio da órbita da carga, ou:

Também é possível calcular o período, T, do movimento, que é o tempo necessário para completar uma revolução. Como esse tempo é dado pelo comprimento da circunferência dividido pela velocidade, esse período pode ser expresso pela eq. 74-06, após um trabalho algébrico a partir da eq. 74-05.

Por outro lado, sabemos que a frequência do movimento, medida em Hertz, é o inverso do período. Logo, basta inverter a eq. 74-06 e obtemos a frequência. Para o caso da frequência angular, pode ser calculada através da eq. 74-07.

As grandezas T, f e ω não dependem da velocidade da partícula, desde que sua velocidade seja muito menor do que a velocidade da luz. Assim, partículas velozes se movem em círculos grandes, enquanto partículas lentas se movem em círculos pequenos. Deve-se ressaltar que todas as partículas que possuem a mesma razão entre carga e massa (|q| / m) completam uma revolução no mesmo tempo, ou seja, possuem períodos iguais. Baseando-nos na Figura 74-02 e observando o sentido do campo magnético  ^→B, o sentido de rotação para uma partícula com carga positiva é o sentido anti-horário e para uma partícula com carga negativa, o sentido de rotação é o sentido horário.

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    2.1.1   Trajetórias Helicoidais

No item anterior estudamos que quando uma partícula entra em uma região que possui um campo de indução magnético e sua velocidade é ortogonal a este, ela executa um movimento circular. Mas, o que acontece se a direção do vetor velocidade não for ortogonal ao campo indução magnético? Bem, isto é o que vamos estudar neste item.

Podemos adiantar que quando isto acontece o vetor velocidade pode ser decomposto em duas componentes: uma que está na mesma direção do campo indução magnético; e outra que está ortogonal ao mesmo. O efeito é que, além da partícula executar um movimento circular, devido à componente ortogonal da velocidade, v_ort, ela também se desloca no mesmo sentido do campo indução magnético, devido à componente paralela, v_par, gerando um movimento helicoidal. A Figura 74-02.1 mostra esse efeito.

Cabe salientar que todas as equações estudadas no item anterior também valem para o movimento helicoidal. Aqui devemos acrescentar uma nova variável que é o chamado passo da hélice. Podemos determinar seu valor conhecendo o período, T, do movimento e a componente paralela da velocidade, v_par. Assim, a equação eq. 74-07a determina o passo da hélice.

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  2.2   Campo Magnético Produzido por Cargas em

Para este tópico, vamos partir da ideia que:

"Cargas em movimento constituem fontes de campo magnético."

Devemos lembrar que o campo indução magnético criado por uma carga em movimento é adicionado ao campo elétrico da carga. A carga sempre produz um campo elétrico, esteja ela em movimento ou não. Aqui, para calcular o campo indução magnético criado pela carga elétrica em movimento vamos usar a lei de Biot-Savart para cargas puntiformes.

Esta lei é similar à lei de Coulomb, onde ambas dependem do inverso do quadrado da distância ao ponto onde se quer calcular o campo. Porém, a lei de Biot-Savart é um pouco mais complexa pois o campo indução magnético depende do ângulo θ entre a velocidade da carga e a linha que vai até o ponto onde o campo é medido, conforme mostra a Figura 74-03.

Assim, a equação que vamos usar para calcular o campo indução magnético no ponto P é mostrada na eq. 74-08.

Observe que a eq. 74-08 introduz uma nova constante chamada de permeabilidade magnética no vácuo e representada por μ_o. O valor dessa constante é igual a:

Tenha em mente que a carga em movimento produz um campo indução magnético. Caso a carga esteja em repouso, não haverá campo indução magnético, mas haverá campo elétrico. Podemos resumir da seguinte maneira:

"Cargas criam campos elétricos, mas somente cargas em movimento criam campo indução magnético."

A Figura 74-04 mostra uma representação gráfica de como o campo indução magnético se posiciona no espaço em relação à trajetória de uma carga positiva. Para uma carga negativa, o sentido do campo indução magnético deverá ser invertido, embora o módulo seja o mesmo.

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  2.3   Campo Indução Magnético Produzido por

Estamos interessados em calcular o campo magnético produzido por uma corrente elétrica, i, próximo de um condutor, quando esta se desloca por esse condutor. Supomos um ponto próximo ao condutor, designado por P₁. Se o condutor tem um comprimento s, podemos definir e representar um elemento infinitesimal do comprimento do condutor por d^→s, cujo módulo é ds e cuja direção é a direção da corrente no elemento ds. Podemos definir um elemento de corrente como id ^→s e calcular o campo d ^→B produzido no ponto P₁ por um elemento de corrente típico, conforme mostra a Figura 74-05.

Para determinarmos esse campo vamos utilizar a chamada Lei de Biot-Savart, que está definida conforme a eq. 74-09 na sua forma vetorial.

Portanto, efetuando o produto vetorial, obtemos:

Portanto, podemos encontrar o valor do campo magnético integrando a eq. 74-09. Considerando que circula uma corrente total igual a I no condutor, obtemos:

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  2.4   Campo Indução Magnético Produzido pela

Depois de estudar o campo magnético gerado por cargas e correntes, vamos estudar como uma corrente elétrica percorrendo um fio condutor retilíneo longo produz um campo magnético em suas imediações. Para tal, vamos nos basear no esquema apresentado na Figura 74-06.

Primeiramente vamos selecionar um pequeno segmento do fio e designá-lo por Δx. Como um todo, o fio é eletricamente neutro, porém a corrente I representa o movimento de cargas positivas ao longo do fio. Queremos calcular o campo magnético d ^→B_k no ponto P, que por sua vez dista r_k do segmento Δx.

Resolvendo de uma forma simples, podemos afirmar que o produto vetorial na eq. 74-09 é igual, em módulo, a sen θ_k. Portanto, podemos escrever:

Como queremos fazer uma integração em relação a x, devemos encontrar os valores de r_k e sen θ em função de x_k. Note que aplicando o teorema de Pitágoras, conseguimos relacionar as variáveis de interesse, ou seja, r_k² = x_k² + x². Por outro lado, podemos escrever:

Assim, fazendo as substituições na eq. 74-12, obtemos:

Agora temos, em todos os pontos, perfeitamente definidos seus camos magnéticos. Para conseguirmos o resultado total devemos somar todos eles. Para tanto, vamos usar a integral entre os limites menos e mais infinito, conforme mostra a eq. 74-15.

Como resultado final da integração obtemos a eq. 74-17 que calcula o campo no ponto P.

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  2.5   Campo Indução Magnético Produzido por uma

Vimos o resultado de um campo magnético produzido por um fio retilíneo longo. Agora vamos ver o que acontece se dobrarmos o fio condutor em forma de uma espira. Assim, vamos aproximar a espira por um anel condutor e calcular o campo produzido por uma corrente circulando pelo anel em sentido anti-horário, conforme mostra a Figura 74-06.

Usamos o eixo z ortogonal ao plano formado pela área da espira. Os outros dois eixos cortam o plano formado pela érea da espira, conforme vemos na Figura 74-07. Vamos tomar um elemento infinitesimal d^→s da espira e analisar o campo no ponto P. Assim, usando a regra da mão direita, claramente percebemos que o elemento ds produz um elemento de campo dB ortogonal ao versor rˆ.

Estamos interessados em calcular o campo no eixo da espira, que coincide com o eixo z. Pela figura acima percebemos que podemos decompor o vetor elementar dB em duas componentes: uma no eixo y, representada por dB_y, e outra no eixo z, representada por dB_z. Observe que, por simetria, a componente dB_y não contribui para o cálculo do campo no ponto P, pois para cada elemento ds que considerarmos sempre haverá um outro ponto diametralmente oposto que produzirá um campo de mesmo módulo, porém em sentido contrário, cancelando a contribuição desse ponto. Por outro lado, considerando o mesmo raciocínio anterior, verificamos que a componente dB_z, para cada elemento ds que considerarmos, haverá um outro ponto diametralmente oposto, contribuindo para a produção do campo magnético no ponto P. O vetor resultante é a soma dos dois. Portanto, podemos expressar o resultado através de uma integral, ou:

Para o cálculo do campo vamos usar a lei de Biot-Savart. Essa lei, já estudada no item 2.3, foi apresentada na eq. 74-11. Da Figura 74-06 vemos que dB_z = dB senθ. Assim, da trigonometria sabemos que senθ = R / r. Além disso, da trigonometria, podemos obter outra relação, dada por r² = R² + z². E no produto vetorial temos d s^→ x rˆ = ds (1) sen 90° = ds. Substituindo esses valores na eq. 74-11, obtemos:

Devemos prestar atenção que nessa equação os valores de I, R e z são constantes, então podem sair para fora da integral. Logo, só devemos integrar ds. A equação fica como mostrado na eq. 74-20.

Como a integral de ds é o círculo completo, isso significa que seu resultado é o comprimento da circunferência, ou seja, 2 π R. Então, a equação final que determina o campo no ponto P, situado no eixo da espira, é dada pela eq. 74-21.

Esta equação permite calcular o campo em qualquer lugar sobre o eixo z. A partir desta equação podemos determinar o campo exatamente no centro da espira, bastando fazer z = 0. Com isso, obtemos:

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  2.6   Campo Indução Magnético Produzido por um

Como vimos no item anterior, o campo magnético no centro de uma espira pode ser determinado pela eq. 74-22. Um solenoide, também conhecido no meio técnico como bobina, pode ser entendido como uma série de espiras justapostas (uma ao lado da outra), gerando um elemento que quando circula uma corrente elétrica através do fio condutor formador do mesmo, estabelece um campo magnético. Na Figura 74-08 podemos ver o esquema de um solenoide. Usando a regra da mão direita, determinamos que o fluxo aponta para a esquerda da figura, pois a corrente circula no sentido anti-horário. Por onde sai o fluxo denominamos de norte e por onde entra o fluxo denominamos de sul (uma analogia com os polos de um ímã permanente), conforme pode ser visto na figura abaixo.

Um solenoide possui um determinado número de espiras representado pela letra N. Então, baseado no que estudamos no item anterior, onde o campo magnético no centro de uma espira pode ser determinado pela eq. 74-22, podemos estender esse conceito para determinar o campo magnético dentro de um solenoide. Para isso, normalmente é usado o conceito da taxa do número de espiras por comprimento do solenoide. Dessa forma, podemos escrever a equação que determina o campo dentro do solenoide por

Cabe ressaltar que alguns autores em seus livros preferem substituir a relação N/L_S pela letra n. Sendo assim, a letra n representa o número de espiras do solenoide por unidade de comprimento. Então a eq. 74-23 origina a eq. 74-23a, abaixo.

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Como estudamos anteriormente, se a distribuição de cargas possui uma simetria planar, cilíndrica ou esférica, podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico total, facilitando os cálculos. No caso do campo magnético total, associado a qualquer distribuição de correntes, mesmo que seja complicada, mas se houver algum tipo de simetria podemos usar a lei de Ampère para determinar o campo magnético total. A lei de Ampère é baseada em um procedimento matemático chamado de integral de linha. Essa lei foi desenvolvida pelo físico André-Marie Ampère (1775- 1836) e, posteriormente aperfeiçoada pelo físico Clerk Maxwell (1831-1879).

Na Figura 74-09 vemos a representação de um fio condutor retilíneo por onde circula a corrente I. A uma distância r do centro do fio temos o campo magnético tangente ao círculo. Note que as linhas de campo são circunferências centradas sobre o condutor.

Como já vimos no item 2.4, o campo magnético produzido por um fio longo retilíneo é dado pela eq. 74-17. Vamos reproduzi-la aqui, adaptando-a para a Figura 74-09, ou

Como dito anteriormente, a lei de Ampère utiliza uma integral de linha ao longo de um caminho, como mostrado na Figura 74-08. Pela figura percebemos que o raio é constante em torno da circunferência, então o campo magnético ,B, também é. Portanto, podemos retirar B da integral e escrever:

Trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho inteiro até fechar a curva escolhida. Esse caminho é conhecido como amperiana. Isso significa que devemos partir de um determinado ponto i e voltarmos ao mesmo. Essa integral é o produto escalar entre o campo magnético associado a curva delimitada e um elemento infinitesimal da linha de integração. Desse produto escalar, podemos tirar dois ensinamentos:

Dessa forma, simplificando a eq. 74-24 encontramos a equação que define a lei de Ampère, ou

O sinal da corrente depende do sentido da integração em relação à corrente. A regra da mão direita indica se, na direção da integral de linha adotada, a corrente é positiva ou negativa. Se o percurso de integração não englobar um condutor, então o resultado da integral de linha será nulo.