Problema 22-4 Fonte:
Adaptado do Exercício 7.12 - página 158 - NILSSON, James W.
& RIEDEL, Susan A. - Livro: Circuitos Elétricos - Ed. LTC - 5ª edição - 1999.
No circuito mostrado na Figura 22-04.1 abaixo, a chave S1 permaneceu fechada e a
chave S2 aberta, ambas por um longo período. Em t = 0 a chave S1 é
aberta. A chave S2 é fechada 50 ms mais tarde. Determine:
a)vC(t) para 0 ≤ t ≤ 0,05 s
b)vC(t) para t ≥ 50 ms
Figura 22-04.1
Solução do Problema 22-4
Item a
Das condições das chaves S1 e S2 relatadas no problema é possível determinar a
tensão no capacitor para t = 0-. Usando o conceito de divisor de corrente podemos
calcular a corrente que circula pelo resistor de 50 KΩ que se encontra em paralelo com o
capacitor. A partir daí podemos calcular a tensão sobre o capacitor, que será a mesma tensão sobre
esse resistor. Então
i50 = 20(mA) 20(kΩ) / ( 20 + 30 + 50)(KΩ) = 4 mA
Logo a tensão em cima do capacitor é:
VC (0-) = 50(kΩ) x 4 (mA) = 200 volts
Quando a chave S1 é aberta, a tensão no capacitor não pode variar bruscamente, por isso podemos afirmar que:
VC (0+) = VC (0-) = 200 volts
Além disso, o circuito fica reduzido ao capacitor em paralelo com o resistor de 50 kΩ. Desta forma, podemos calcular qual a constante de tempo do circuito. Assim:
τ = R C = 50 x 103 x 2 x 10-6 = 0,1 s
Com estes dados podemos escrever a equação solução do circuito para os primeiros 50 ms. Ou seja:
VC(t) = 200 e-10t, 0 ≤ t ≤ 50 ms
Item b
Devemos prestar atenção quando a chave S2 fecha em t = 50 ms. Observe que, neste caso,
o capacitor sofreu uma descarga desde t = 0 ms até t = 50 ms. Assim, para encontrarmos o valor inicial da tensão no capacitor, para esta nova condição, devemos utilizar a equação encontrada no item anterior e calcular a tensão dele quando t = 50 ms. Portanto:
VC (50 ms) = 200 e-10. 50(ms) = 121,31 volts
Evidentemente que quando t → ∞ o capacitor terá uma tensão nula,
ou VC(∞) = 0 volts
Não devemos esquecer que quando a chave S2 fechou, ela colocou o resistor de
200 kΩ em paralelo com o resistor de 50 kΩ, o que
resulta um resistor equivalente de 40 kΩ. Logo, podemos calcular a nova constante de tempo
do novo circuito, ou:
τ = R C = 40 x 103 x 2 x 10-6 = 0,08 s
Com estes dados e usando a eq. 22-03 podemos escrever a equação solução do circuito para
t ≥ 50 ms, ou:
VC (t) = 121,31 e-12,5(t- 0,05) t ≥ 50 ms
Repare que nesta equação usamos o fato de que -(t-0,05)/0,08 = -12,5(t-0,05).
