Problema + dificil 83-2    Fuente:  Pregunta 3 de lo primer examen de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 1975.

En la Figura 83-2.1, el circuito es simétrico, balanceado y la secuencia de fases es directa o ABC. Se sabe que V₁ = 346,1 V,   V₂ = 200 V   y   A = 20 A.   Determine:

a)  los valores de R, X y la voltaje de línea.

b)  el factor de potencia del circuito estrella.

Solución del Problema + difícil 83-2

Item a

Para la solución de este problema nos basaremos en un diagrama de tensiones y corrientes como se muestra en la Figura 83-2.2. Destacamos que la solución será una mezcla de álgebra y geometría.

Ahora analicemos este diagrama en partes. Tenga en cuenta que el voltaje medido por el voltímetro V₂ está representado por el fasor V_kN = 200 V. De la figura, resulta que V_kN = V_CN sen 30°. Así, el valor de V_CN es:

Como el circuito es simétrico, entonces V_CN = V_BN = V_AN = 400 volts y el voltaje de línea es:

Para encontrar los valores de R y X, se deben calcular las tensiones V_xN y V_Ax. Observe el círculo rojo donde el diámetro es el voltaje de fase V_AN = 400 V. Este círculo define las voltajes V_xN y V_Ax, como se muestra en la figura, donde en el punto x tenemos un ángulo de 90°. Tenga en cuenta que para encontrar el valor de V_xN es necesario calcular el valor de V_yN. Tenga en cuenta que el punto y es igual a un tercio del valor de V_CA. Esto significa que está a la misma altura que el punto N . Por tanto, el segmento Oy es paralelo al voltaje V_CB. Esto nos permite decir que V_yN = V_Ay cos 60°, ya que el ángulo entre V_Ay y V_yN   es   60°.   Y   V_Ay = 2/3 V_CA = 461,88 volts. Así:

Entonces, los valores de los dos fasores que permiten el cálculo de V_xN ellos son conocidos. Para eso es necesario utilizar la ley de los cosenos. Sin embargo, falta conoce el ángulo entre V_Ay y V_yN. Se debe utilizar el siguiente dispositivo: dibujemos un segmento que conecte los puntos O y y. De esta manera, se crea el triángulo NOy, que es un triángulo rectángulo. Usando el teorema de Pitágoras es posible calcular el valor de V_Oy, recordando que V_ON = 200 volts, porque es la mitad del valor de V_AN.

Y dado que el triángulo NOy es un rectángulo, entonces el ángulo φ es igual a:

Ahora necesitamos calcular el ángulo θ. Tenga en cuenta que cuando traza el segmento Oy , se crea el triángulo Oxy, que no es un triángulo rectángulo. En este caso, utilice la ley de los cosenos para calcular el ángulo θ. Luego, use eq. 51-03 reproducido a continuación.

Recuerde que x es el lado opuesto al ángulo que desea calcular. Entonces x = V_Ox = 200 volts, porque es igual al radio del círculo.

Realizando el cálculo

Sumando los dos ángulos encontrados, el resultado es el ángulo entre V_xy y V_yN, es decir, φ + θ = 75,58°. Nuevamente usando la ley de los cosenos es posible calcular el valor de V_xN.Como desea calcular el tercer lado de un triángulo, use eq. 51-01 reproducido a continuación.

Aquí x = V_xN. Entonces:

Realizando el cálculo obtenemos:

Usando el teorema de Pitágoras obtenemos el valor de V_Ax, o:

Realizando el cálculo obtenemos:

Cómo se conoce la corriente de fase I_AN, que fue medido por el amperímetro A = 20 A, entonces los valores de R y X serán:

Item b

Para encontrar el factor de potencia , debes calcular el ángulo φ entre la corriente I_AN y la voltaje V_AN. Sin embargo, como se conoce los valores de R y X esto es muy fácil, porque:

Entonces el factor de potencia es: