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En este capítulo estudiaremos el comportamiento de los circuitos acoplados magnéticamente. Las bobinas acopladas se encuentran en muchas aplicaciones, como sistemas de potencia, comunicaciones, sistemas de audio profesional, etc.
Los conceptos desarrollados conducen a un nuevo elemento en los circuitos llamado transformador . mediante de este nuevo elemento podemos utilizarlo para igualación de impedancia, aislamiento eléctrico y también proporcionar cambios en los niveles de voltaje en sistemas de potencia. Actualmente estamos más interesados en desarrollar una buena base de conocimientos sobre circuitos acoplados. Los transformadores se estudian en un capítulo posterior.
"La inductancia mutua es la capacidad de un inductor para inducir voltaje en un inductor vecino y está
representada por letra M . Su unidad de medida es henry."
La inductancia mutua, M, es siempre un valorpositivo. Para determinar el valor de voltaje
inducido de un devanado a otro, deberíamos conocer la orientación física de cada devanado y, aplicando
la ley de Lenz junto con la regla de la mano derecha, definiríamos su valor.
Sin embargo, mostrar esto en un diagrama eléctrico no es una tarea fácil. Por tanto, se créo la llamada
"convención de puntos". Esta regla establece que se colocará un punto en cada extremo de
cada una de las dos bobinas acopladas magnéticamente. Por tanto, si la corriente entra por el lado marcado con un punto, esto determinará el sentido del flujo eléctrico.
Entonces, tenemos dos casos posibles: las bobinas están en la configuración aditiva o
sustractiva. Por tanto, podemos establecer una regla para determinar la configuración de las bobinas.
"La inductancia mutua es aditiva cuando ambas corrientes entran o salen de puntos; de lo contrario, es sustractiva, siempre que los dos puntos estén en el mismo lado de las bobinas."
En la Figura 78-01, podemos ver dos arreglos posibles para la configuración aditiva . Nota que por donde entre la corriente, la polaridad del voltaje en el devanado es positiva. Y donde sale el devanado, es negativo .
Otra posibilidad sería pasar los dos puntos al fondo de los devanados, manteniendo la dirección de las corrientes.
En la Figura 78-02, podemos ver dos arreglos posibles para la configuración sustractiva . Observe que por donde entre la corriente, la polaridad del voltaje en el devanado es positiva. Y donde sale el devanado, es negativo.
Otra posibilidad sería pasar los dos puntos al fondo de los devanados, manteniendo la dirección de las corrientes.
En la Figura 78-03, podemos ver otros dos arreglos posibles para la configuración
sustractiva. Aquí, los puntos están en lados opuestos. Preste atención a la dirección de las corrientes.
Por otro lado, conocemos la posibilidad de que una tasa positiva en la variación de corriente en
un inductor produzca un voltaje negativo en otro inductor. De esta forma, los acoplamientos aditivos
y sustractivos incluyen la señal ± en el término de la inductancia mutua, M.
Entonces, las ecuaciones que usamos para determinar la voltaje en L1 y
L2 són:
eq. 78-01
eq. 78-02
Entonces, cuando aplicamos estas ecuaciones a los elementos de un circuito, debemos determinar si
vamos a usar el signo más o el signo menos. En este sitio elegimos usar, siempre que
sea posible, la configuración aditiva.
En algunos casos, debemos invertir el sentido de la corriente. Al hacerlo, garantizamos que los
voltajes inducidos siempre tendrán la polaridad positiva mirando hacia el lado del devanado
que no tiene el punto. El uso de esta técnica se puede ver
aqui!
Para ejemplificar el uso de estas ecuaciones usaremos el ejemplo 15-1 del libro El análisis y
Diseño de Circuitos Lineales, Thomas, Roland, página 793 donde tenemos
L1 = L2 = 10 mH,
M = 2 mH. Calculemos el valor de v2 cuando i2 = 0, sabiendo que
vi = 200 sen (400 t) V. Ver la Figura 78-04.
Solución
A través del circuito vemos que v1 = vi. También es posible observar que estamos ante una configuración aditiva y por ello usaremos inductancia mutua con un signo positivo. Abreviamos la notación y usemos la derivada de la variable en relación con el tiempo como
i'1. Tenga en cuenta que como i2 = 0, la segunda parte de la
eq. 78-01 y eq. 78-02 se cancelan mutuamente. Entonces podemos calcular
i'1 (t) como:
i'1 (t) = v1 (t) / L1 = 200 sen (400 t) / 0,01
Realizando el cálculo encontramos:
i'1 (t) = 20.000 sen (400 t)
Sustituyendo este valor en eq. 78-02, obtengamos:
v2 (t) = 2 x 10-3 x 20.000 sen (400 t) = 40 sen (400 t) V
Las dos bobinas acopladas mutuamente que se muestran en la Figura 78-05 se pueden interconectar de cuatro formas diferentes. Veamos cada caso.
Caso 1
Las dos bobinas acopladas mutuamente que se muestran en la Figura 78-06 tienen la siguiente ecuación:
V = jω L1 I + jω M I + jω L2 I + jω M I
Esta ecuación también se puede escribir como:
V = jω I ( L1 + L2 + 2 M ) = j ω I Leq
De esta manera, reconocemos fácilmente que podemos reemplazar todo el circuito con una inductancia equivalente dada por:
eq. 78-03
Caso 2
Las dos bobinas acopladas mutuamente que se muestran en la Figura 78-07 tienen la siguiente ecuación:
V = jω L1 I + jω M I + jω L2 I - jω M I
Esta ecuación también se puede escribir como:
V = jω I ( L1 + L2 - 2 M ) = j ω I Leq
De esta manera, reconocemos fácilmente que podemos reemplazar todo el circuito con una inductancia equivalente dada por:
eq. 78-04
Caso 3
Las dos bobinas acopladas mutuamente que se muestran en la Figura 78-08 tienen la
siguiente ecuación:
V = jω L1 I1 + jω M I2
V = jω M I1 + jω L2 I2
A partir de estas dos ecuaciones es posible resolver para I1 y I2.
Entonces, obtengamos:
I1 = V ( L2 - M ) / jω ( L1 L2 - M2 )
I2 = V ( L1 - M ) / jω ( L1 L2 - M2 )
Usando LKC en el circuito que se muestra en la Figura 78-08, concluimos fácilmente que
I = I1 + I2. Con esta información podemos escribir
I = I1 + I2 = V / jω Leq
Donde Leq es dado por eq. 78-05.
eq. 78-05
Caso 4
Tenga en cuenta que en el caso 4, como se muestra en la Figura 78-09, las bobinas
todavía están en paralelo, pero ha habido una inversión en los puntos con relación el caso 3.
Entonces el
la corriente I2 entra en la bobina L2 desde el lado
sin puntada. De esa forma, las ecuaciones que gobiernan el circuito son:
V = jω L1 I + jω M I + jω L2 I - jω M I
Esta ecuación también se puede escribir como:
V = jω L1 I1 - jω M I2
V = - jω M I1 + jω L2 I2
Como en el caso 3 es posible resolver el sistema para I1 y
I2.
Y, usando LKC, la relación entre las corrientes viene dada por
I = I1 + I2. Desarrollando,
podemos escribir la siguiente relación:
Con base en el hecho de que la energía almacenada en un circuito acoplado no puede ser negativa, dado que todo el circuito es pasivo, podemos establecer un límite superior para la inductancia mutua. Por tanto, se puede concluir que la inductancia mutua no puede ser mayor que la media geométrica de las autoinductancias de la bobina. El grado en el que la inductancia mutua M se acerca al límite superior se especifica mediante el coeficiente de acoplamiento, k , dado por
eq. 78-07
Cabe señalar que 0 ≤ k ≤ 1 porque representa la fracción del flujo magnético total que emana de una bobina y pasa a través de la otra. Si todo el flujo producido por una bobina pasa por la otra bobina, entonces k = 1 y decimos que tenemos un acoplamiento 100% o que las bobinas son
perfectamente acoplado.
Caso k ≤ 0,5 decimos que las bobinas están débilmente acopladas y, si k > 0,5, se dice que están estrechamente acoplados.
En muchos problemas no se da M, pero se da k. Entonces, a partir del valor de k deberíamos encontrar el valor de M. Para esto usamos la eq. 78-04, o
eq. 78-08
También puede suceder que los valores deL1 y L2 no son dados. Y ni el valor de ω. Solo los valores de XL1, XL2 y k se proporcionan. Bueno, no es necesario proporcionar el valor de ω. Cómo nos interesa el valor de ω M, entonces podemos hacer la siguiente transformación en eq. 78-04, donde
ω M = ω k √ (L1 L2 ).
Poniendo ω en el radical podemos escribir lo siguiente: ω M = k √
(ω2 L1 L2 )
= k √ (ω L1 ω L2). Pero ω L1 es la reactancia inductiva de L1 y ω L2 es la reactancia inductiva de L2. Entonces podemos escribir eso
Podemos considerar el transformador como un dispositivo que contiene dos o más bobinas acopladas magnéticamente.
Normalmente, la fuente de alimentación está conectada al primario y la carga conectada al secundario. Llamamos al transformador lineal si la permeabilidad magnética, μ de las trayectorias por las que fluyen los flujos es constante.
En transformadores construidos sin material de alta permeabilidad en el núcleo, el coeficiente de acoplamiento, k, normalmente es muy pequeño. Así, podemos utilizar núcleo de aire, plástico, baquelita, madera y otros, ya que estos materiales tienen una permeabilidad constante. Este tipo de transformador tiene aplicaciones variadas como en osciladores y amplificadores de radiofrecuencia en receptores de radio, televisores, equipos de medida, etc ...
A menudo, para resolver un problema, es necesario conocer la impedancia que representa todo el circuito para la fuente de alimentación.
En esta situación, es interesante reflejar toda la impedancia del secundario al primario. De esta forma, calculamos fácilmente esta
impedancia ya que eliminamos la presencia del transformador. Entonces, analicemos el circuito que aparece en la Figura 78-09.
Siguiendo la metodología que adoptamos, escribiremos las ecuaciones del circuito que se muestran en
Figura 78-09. Por lo tanto:
( R1 + jω L1 ) I1 + jω M I2 = V
eq. 78-10
jω M I1 + ( R2 + jω L2 + ZL ) I2 = 0
eq. 78-11
Determinar la impedancia que representa el circuito para la fuente es lo mismo que determinar la
impedancia de entrada del circuito. Para esto, podemos definir
Zen = V / I 1. Esta relación se puede encontrar resolviendo la
eq. 78-10 de tal manera que encontramos I2 en función de I1 y reemplazamos este valor en eq. 78-11. Así, obtenemos la impedancia de entrada del circuito expresada por eq. 78-12.
eq. 78-12
Por la eq. 78-12 , se observa que la impedancia de entrada se compone de dos términos: el primer término ( R1 + jω L1 ) representa la impedancia primaria; el segundo término se debe al acoplamiento entre los dos devanados. Se interpreta como un reflejo de la impedancia del secundario al primario.
Normalmente, en la literatura técnica se conoce como impedancia reflejada y se representa por Z R .
Cabe señalar que el resultado de eq. 78-12 no se ve afectado por la posición de los puntos del transformador, ya que obtenemos el mismo resultado cuando reemplazamos M por - M.
A menudo, en circuitos acoplados, la construcción de las ecuaciones de solución puede ser bastante compleja. Entonces, a veces, es perfectamente comprensible querer reemplazar un circuito acoplado magnéticamente por uno sin acoplamiento magnético. Así que estudiemos cómo podemos transformar un circuito acoplado magnéticamente en un circuito "T" o "Estrella", que no tiene inductancia mutua, como se muestra en Figura 78-10.
Partiendo de una ecuación matricial que traduce las relaciones voltaje-corriente para los devanados primario y secundario y, luego, encuentra la matriz inversa, podemos relacionarlas con las ecuaciones correspondientes para los circuitos "T". Por lo tanto, usando el circuito "T" de la
Figura 78-10 y haciendo las comparaciones apropiadas, encontramos la equivalencia de acuerdo con las ecuaciones siguientes.
Estudiaremos cómo podemos transformar un circuito acoplado magnéticamente en un circuito "Pi" , que se representa en la Figura 78-11, que no tiene un acoplamiento magnético.
De la misma forma que se hizo para el circuito "T", ahora lo compararemos con las ecuaciones que representan el circuito "Pi" y obtendremos la equivalencia entre los circuitos, como se muestra en las ecuaciones siguientes.
eq. 78-16
eq. 78-17
eq. 78-18
Mirando de cerca las ecuaciones de los circuitos "T" y "Pi", se puede ver que dependiendo de la
configuración del circuito con acoplamiento magnético, podemos encontrar un valor negativo para cierta inductancia.
Aunque esto es físicamente inalcanzable, el modelo matemático equivalente es válido.
Definimos transformador ideal cuando tiene las siguientes características:
Las bobinas tienen reactancias muy grandes. (L1, L2 e M → ∞ ).
El coeficiente de acoplamiento es unitario (k=1).
Las bobinas primarias y secundarias no muestran pérdidas (Rp = Rs = 0).
Podemos aproximar un transformador a uno ideal, sustituyendo el núcleo de aire utilizado, en general, en los transformadores lineales, por un núcleo de hierro.
Cuando se aplica un voltaje sinusoidal al devanado primario, un flujo magnético, Φ, pasa a través de ambos devanados. Este flujo inducirá una tensión en el devanado secundario. La relación entre la tensión aplicada al primario y la tensión que aparece en el secundario dependerá del número de vueltas que tenga cada devanado. Normalmente representamos el número de vueltas del primario por
N1 y el número de vueltas del secundario por N2. También debe tenerse en cuenta que, en el transformador ideal, la potencia de salida es igual a la
potencia de entrada, es decir, no hay pérdidas.
En este punto, definimos la llamada relación de transformación, que se expresa por eq. 78-19.
eq. 78-19
Y como se mencionó anteriormente, las potencias de entrada y salida en el transformador ideal son las mismas, es decir,
P1 = P2 = V1 I1 = V2 I2.
Entonces, esto nos permite escribir eso:
eq. 78-20
En la figura Figura 78-12 presentamos el esquema de un transformador ideal
Donde las variables son:
V1 - Tensión eléctrica aplicada al transformador primario.
V2 - Tensión eléctrica en el secundario del transformador.
I1 - Corriente eléctrica en el primario del transformador.
I2 - Corriente eléctrica en el secundario del transformador.
N1 - Número de vueltas en el primario del transformador.
N2 - Número de vueltas en el secundario del transformador.
ZL - Carga conectada a la secundaria.
P1 - Potencia entregada al primario del transformador.
P2 - Potencia entregada a la carga
Para representar un transformador ideal, observe las líneas verticales paralelas que separan las
bobinas como se muestra en la Figura 78-12. Esto indica que el núcleo está hecho de
material con alta permeabilidad magnética, como el hierro.
En el estudio de los transformadores podemos trabajar con la llamada reflexión de impedancia. Es decir, podemos reflejar la impedancia del primario al secundario y viceversa. Depende de la conveniencia de uno u otro. Veamos cómo se hacen estos reflejos.
A impedância do secundário pode ser calculada como a razão entre a tensão e a corrente do secundário.
Referindo-nos ao circuito mostrado na Figura 78-12, podemos escrever que:
Zs = V2 / I2 = ZL
Pero por eq. 78-20 sabemos que V1 = a V2 y I1 = I2 / a. Así, calculando la impedancia que ofrece el circuito al primario, encontramos:
Zp = V1 / I1 = a V2 / (I2 / a) = a2 ZL
Es decir, cuando reflejamos la impedancia del secundario al primario, debemos multiplicar la impedancia del secundario por el cuadrado de la relación de transformación. En resumen:
Así como reflejamos la impedancia del secundario al primario, podemos reflejar eso del primario al secundario.
Desde eq. 78-20 concluimos que I2 = a I1 y
tambiém V2 = V1 / a. Así, calculando la impedancia que ofrece el circuito al secundario, encontramos:
Concluimos que cuando reflejamos la impedancia del primario al secundario, debemos dividir la impedancia del primario por el cuadrado de la relación de transformación. En resumen: