Al estudiar el campo eléctrico debemos comprender el concepto de carga puntual.
Por carga puntual, nos referimos a una carga que puede tener polaridad positiva o negativa
y, además, consideramos que toda la carga se concentra en un punto de dimensión infinitesimal,
es decir, con dimensión insignificante.
Para estudiar los campos eléctricos vamos a postular un modelo de campo que describe cómo las cargas
interactuar:
1. Algunas cargas, que llamaremos cargas de origen, cambian el espacio alrededor
a sí mismo creando un campo eléctricoE→.
2. Cada carga aislada , dentro de un campo eléctrico, experimenta una fuerzaF→ ejercida por el campo.
Debemos resolver dos tareas para que este sea un modelo útil para las interacciones eléctricas. Primero,
debemos aprender a calcular el campo eléctrico para una configuración de carga-fuente.
En segundo lugar, debemos determinar las fuerzas ejercidas sobre una carga y su movimiento dentro
del campo eléctrico.
Suponga que la carga q experimenta una fuerza eléctricaF→ debido a otras cargas. Entonces, en cada punto
del espacio una cierta fuerza actúa sobre la carga q. De esta forma definiremos
campo eléctrico E→ conforme eq. 71-01.
eq. 71-01
Entonces definimos campo eléctrico como una relación entre fuerza y carga ,
de modo que la unidad de campo eléctrico es newton por coulomb, o N/C.
El módulo del campo eléctrico se llama intensidad del campo eléctrico.
Podemos pensar en usar una carga de prueba q para verificar si hay algún campo eléctrico
en un lugar determinado del espacio. Si la carga q experimenta una fuerza eléctrica en
ese punto del espacio, decimos que hay un campo eléctrico E→
actuando en ese punto causando la fuerza F→
Nota: observe que la carga de prueba q también produce un campo eléctrico,
sin embargo las cargas no ejercen fuerzas sobre sí mismas. Por tanto, la carga q mide
solo el campo eléctrico generado por otras cargas.
De lo dicho anteriormente, se concluye que el campo eléctrico es el agente causante de la
fuerza sobre la carga q.
Entonces, podemos establecer algunas ideas básicas sobre el campo :
Si q es positivo, el vector del campo eléctrico apuntará en la
misma dirección de la fuerza eléctrica ejercida sobre esa carga.
La eq. 71-01 asocia un vector a cada punto en el espacio, es decir, el campo
eléctrico es un campo vectorial.
Debe quedar claro que el campo eléctrico no depende de la carga de prueba q . Esta usado
sólo para comprobar si existe un campo eléctrico y, si es posible, medirlo. El campo eléctrico
en el lugar es generado por las cargas fuente.
Habiendo realizado estos ajustes, podemos reescribir la eq. 71-01 para que la fuerza sea
dependiendo del campo eléctrico, o:
eq. 71-02
Esta ecuación permite encontrar la fuerza sobre una carga determinada
en un lugar del espacio donde se conoce el campo eléctrico.
Convención de la dirección del Campo Eléctrico
Se acuerda que la dirección del vector de campo eléctrico generado por cargas obedece a los
siguientes criterios:
1. Si la polaridad de la carga es positiva, el vector del campo eléctrico
apunta radialmente a "fuera" de la carga.
2. Si la polaridad de la carga es negativa , el vector del campo eléctrico
apunta radialmente a "dentro" de la carga.
En la Figura 71-01 podemos ver el esquema correspondiente a esa convención.
Para estudiar la ley de Coulomb, primero comprendamos las constantes que se usan en la ecuación.
La unidad de carga eléctrica en SI es Coulomb. Por otro lado, la cantidad representada
por la unidad de carga fundamental, normalmente designado por la letra e, tiene un
valor igual a e = 1,6 x 10-19 C.
Otra constante utilizada en los cálculos es la constante electrostática K que en unidades
SI es
K = 8,99 x 109 N m2 / C2. En este sitio adoptaremos el valor
redondeado de esta constante, es decir, K = 9 x 109 N m2 / C2.
Como ya se definió en el capítulo 3, refiriéndonos a los condensadores, tenemos la llamada
constante de permisividad en el vacío, εo,
conocido como épsilon cero y de un valor igual a:
Existe una relación entre la constante K y la constante εo, dada por
ecuación eq. 71-03.
eq. 71-03
Después de estas definiciones podemos escribir la ecuación que define la fuerza de interacción
entre dos partículas cargadas eléctricamente. Así:
eq. 71-04
Vale la pena mencionar algunas observaciones importantes sobre la
ley de Coulomb, que se enumeran a continuación:
La fuerza, en módulo, que la carga q1 ejerce sobre q 2 es
exactamente igual a la fuerza que q2 ejerce sobre q1, en la misma
linea de acción pero en lo sentido opuesto.
La ley de Coulomb se aplica solo a las cargas puntiformes, que es un objeto idealizado con
carga y masa, pero sin extensión ni tamaño. Si los objetos son mucho más pequeños que la separación
entre ellos, podemos considerarlos puntiformes.
Cuando una carga está bajo la acción de varias fuerzas, la fuerza resultante es la suma vectorial de
todas las fuerzas.
Ejemplo 71-1
Fuente:
Problema desarrollado por el autor del sitio.
Ya sean dos cargas, q1 = 10 µC y q2 = 20 µC
separados por una distancia de 0,1 metros . Calcula la fuerza eléctrica entre estas
dos cargas.
Solución
Como conocemos los valores de las cargas y su distancia, simplemente aplique el eq. 71-03, es decir:
El campo eléctrico creado por una carga eléctrica es responsable de la existencia de fuerzas eléctricas
actuando sobre otras cargas. Si aislamos una carga, no estará sujeta a fuerzas. Aunque produce
un campo eléctrico, no sufre de su propio campo. Las fuerzas entre partículas cargadas son
las llamadas de acción remota. De alguna manera, la fuerza se transmite a través del espacio.
Como otras fuerzas, sea la gravitacional, magnética, etc ..., son fuerzas que obedecen
la ley de la inversa del cuadrado de la distancia.
En la literatura se estudian algunos modelos de campos producidos por diferentes situaciones con objetos
cargados eléctricamente. Estudiaremos algunos de ellos.
De las ecuaciones 71-01 y 71-03 podemos encontrar una ecuación
que nos permite calcular el campo eléctrico generado por una carga puntual. Si tenemos una carga
q1 en una ubicación determinada del espacio y nos interesa conocer el campo eléctrico
que produce, nada más natural que utilizar una segunda carga, aquí llamada q2, para que
sirva como "sonda" o "carga de prueba". Entonces la carga q1 producirá un campo
eléctrico, tal que la carga q2 experimentará una fuerza que actúa sobre él. Este campo
se explica en eq. 71-01 donde F→ es la fuerza sobre
q2.
Luego, usando la eq. 71-03 , llegamos a la ecuación de campo eléctrico generada por
q1, conforme la eq. 71-05.
eq. 71-05
En esta ecuación, representamos el campo eléctrico como una cantidad vectorial .
Elegimos representar la carga de forma genérica por la letra q. Y r^
representa el vector unitario, es decir, el vector de longitud UM con orientación de origen para
el punto de interés. Ya conocemos otras variables.
Esta ecuación también funciona para cargas eléctricas negativas, haciendo que la dirección del vector
campo eléctrico es opuesto al de una carga positiva, es decir, el vector de campo eléctrico apunta
hacia la carga.
Como ya se mencionó, es importante distinguir las cargas que son las fuentes de un campo eléctrico de las
que lo experimentan y que se mueven bajo la influencia de este campo eléctrico. Suponga que la fuente de un
campo eléctrico es un conjunto de cargas puntuales. q1, q2,
q3, ...
Por tanto, el campo eléctrico resultante E→res
en cada punto del espacio está la superposición de los campos eléctricos generados individualmente
por cada carga en el conjunto en ese punto. Por lo tanto, la mejor manera de expresar el vector de
campo eléctrico resultante es en forma vectorial, o:
Para estudiar el campo eléctrico es más apropiado considerar la carga como continua y
describe cómo se distribuye por el objeto. Entonces, podemos tener una distribución lineal, superficial
o volumétrico.
En el caso de la distribución lineal, podemos asumir un objeto con la longitud siendo la dimensión
predominante y eso tiene una longitud L. Entonces, si el objeto está electrificado y lo llamamos el
carga total del objeto como Q , podemos definir la densidad de carga lineal,
λ, como
eq. 71-07
La densidad de carga lineal se define como la cantidad de carga por metro
de largo y su unidad es C/m
La densidad de carga superficial, σ, es la cantidad de carga distribuida en un
área de superficie A . Y su unidad es la C/m2, es decir, es la cantidad de
carga por metro cuadrado y se puede representar mediante
eq. 71-08
La densidad de carga volumétrica, ρ, es la cantidad de carga distribuida en un
volumen V. Y su unidad es la C/m3, es decir, es la cantidad de carga por
metro cúbico y se puede representar mediante
Nos interesa calcular el campo eléctrico producido por un alambre cargado eléctricamente de
longitud L, en un punto P, ubicado en su eje de simetría, como podemos ver en
Figura 71-02.
Figura 71-02
Suponemos una carga dq ubicada en un punto a lo largo del alambre y queremos calcular el campo
dE en un punto P. Recordemos eso dq = λ da y que r2 = x2 + a2.
Entonces, usando la ley de Coulomb, tenemos:
eq. 71-10
Este es el valor de dE. Sin embargo, queremos calcular el campo eléctrico en el eje de
simetría, es decir, dEx. En este caso, por Figura 71-02, podemos ver que
eq. 71-11
Por tanto, está claro que debemos calcular la componente de dE en la dirección x. Establecido
todavía en Figura 71-02, podemos escribir que
eq. 71-12
Por tanto, para obtener la eq. 71-11 debemos unirnos a la eq. 71-10 con
eq. 71-12 . Como la eq. 71-11 representa solo el diferencial del campo que
queremos calcular, entonces para obtener el valor del campo eléctrico Ex,
debemos integrar eq 71-11 de - L hasta + L. De esta forma,
podemos escribir
eq. 71-13
Tenga en cuenta que la variable de integración es a . Entonces podemos reorganizar
la integral de la siguiente manera:
eq. 71-14
Ahora nos vamos a centrar únicamente en la solución de la integral. Observe que tenemos, en el denominador,
1 + (a/x)2 y eso sugiere una transformación de variable del tipo
tangente, porque por Figura 71-02, vemos que tan θ = a / x . Así, a = x tan θ.
Por tanto, da = x sec2 θ dθ. Además, sabemos que
1 + tan2 θ = sec2 θ y haciendo la sustitución en el denominador
encontramos el valor de sec2 θ elevado a potencia 3/2 lo que da como
resultado sec3 θ. Haciendo la sustitución en el numerador y denominador
encontramos la eq. 71-15.
eq. 71-15
Pero note que la función coseno se puede expresar como la inversa de la función secante .
Además, podemos sacar x de la integral. Entonces es posible escribir:
eq. 71-16
Y dado que la integral del coseno es la función seno, y por
Figura 71-02 podemos ver que
sen θ = a/r = a / (a2 + x2)1/2 . Entonces, reemplazando ese valor
en eq. 71-16 obtenemos
eq. 71-17
Y finalmente, haciendo la sustitución encontramos la ecuación final que determina el
valor del campo eléctrico en el eje de simetría del alambre.
eq. 71-18
Con este resultado podemos hacer algunas consideraciones para verificar su validez. Nota que
el numerador de la eq. 71-18 representa la carga total Q = 2 λ L del almbre,
porque la longitud del cable es 2 L. Llevaremos el límite cuando x → ∞.
En este caso, x >> L
y por tanto en el denominador tenemos x2. Por tanto, la ecuación se reduce a la ley de
Coulomb para una carga puntual que representa un comportamiento muy razonable de la ecuación.
Por otro lado, podemos analizar cómo se comporta haciendo el límite cuando x → 0 .
En este caso, la ecuación se reduce a:
eq. 71-19
Y esta ecuación es exactamente la ecuación que determina el campo eléctrico de un alambre con una
longitud infinita. Pronto, la eq. 71-18 se puede interpretar para diversas situaciones.
Para un disco cargado eléctricamente con una densidad de carga superficial, σ, uniforme,
calculemos el campo eléctrico que produce en un punto P ubicado a lo largo del eje z . La situación que vamos a analizar está representada en la Figura 71-03.
Figura 71-03
En la Figura 71-03 tenemos un disco de radio R donde resaltamos un elemento de carga
dq ubicado a una distancia r del centro del disco. Y este elemento de carga está d desde el punto P.
Para resolver este problema usaremos coordenadas polares. De esa forma, podemos escribir el elemento de carga como dq = σ r dr dθ.
Dado que la distancia de este elemento al punto P es
d, entonces podemos escribir que d2 = r2 + z2. Con estos datos podemos usar la ley de Coulomb y escribir
eq. 71-20
Como queremos calcular el campo eléctrico en el punto P ubicado a lo largo del eje z , entonces debemos calcular la componente de dE en la dirección del eje z, es decir,
dEz = dE cos φ. Por tanto, debemos escribir
eq. 71-21
Mirando de cerca la eq. 71-21 nos damos cuenta de que hay dos variables infinitesimales.
Entonces, debemos hacer una doble integración: una en relación con r y la otra en relación con
θ.
Además, podemos expresar cos φ = z/d = z/ (z2 + r2)1/2.
Después de un arreglo algebraico, obtenemos la siguiente expresión:
eq. 71-22
Observe que la integración en θ es trivial, ya que su valor es igual a
2 π. Por tanto, reorganizando los términos y eliminando los términos que no dependen de
r de la integral, obtenemos:
eq. 71-23
La resolución de esta integral tampoco presenta dificultades, ya que podemos sustituir variables. Haciendo u = z2 + r2 y derivando u obtenemos du = 2 r dr. Luego, reemplazando estos valores en eq. 71-23 y después de un arreglo algebraico, obtenemos
eq. 71-24
Ahora hemos logrado la integración de un polinomio, donde obtendremos
I = u-3/2 + 1 / ((-3/2) + 1). Realizando el cálculo encontramos I = -2 u-1/2.
Sin embargo, recuerda que u = z2 + r2. Pronto haciendo las sustituciones necesarias y organizando los términos,
encontramos
eq. 71-25
Y así, después de algunas simplificaciones, encontramos el resultado final para el campo eléctrico producido por un disco
cargado eléctricamente en su eje de simetría, o
eq. 71-26
Con este resultado, podemos hacer una predicción del valor del campo cuando z → 0.
Observe que la segunda parte, que está encerrada entre corchetes, va a cero cuando multiplicamos por
z.
Y la primera parte es igual a UNO , cuando multiplicamos por z. Entonces, lo que obtuvimos fue la ecuación del campo eléctrico en un plano infinito cargado eléctricamente. Por la eq. 71-27 es fácil ver que el campo eléctrico del plano infinito es constante.
eq. 71-27
Por otro lado, es posible hacer una predicción del valor del campo eléctrico cuando
z → ∞ . Para esto, reescribamos la eq. 71-25 y eq. 71-26 de la siguiente manera:
eq. 71-28
Mirando solo lo que está entre corchetes, podemos hacer una expansión usando la fórmula de Taylor . Debemos pasar la z que está en el numerador al radical y al factor.
Nosotros encontramos:
eq. 71-29
Note que los números uno se cancelarán, dejando solo la fracción con un signo positivo, porque tenemos la multiplicación de dos signos negativos. Así obtenemos:
eq. 71-30
Vea que en el numerador tenemos el producto π R2, que es exactamente el
área del disco. Y cuando multiplicamos el área por la densidad de carga superficial, obtenemos la carga total, Q, del disco. De esta manera, lo que probamos es que cuando z → ∞ el disco se comporta como una carga puntual y por esto la eq. 71-30 toma la forma de
ley de Coulomb.
Los condensadores son de fundamental importancia en los circuitos eléctricos, tanto en DC
como en AC. En la Figura 71-04 mostramos de forma esquemática cómo se forma un condensador.
Figura 71-04
Observe que tenemos dos electrodos, uno frente al otro, cada uno con un área, A, y están separados el uno del otro, d. Además, uno de los electrodos tiene una carga + Q y el otro tiene una carga - Q . Esta disposición de dos electrodos, cargados con el mismo valor de carga absoluto, pero con signos opuestos, se denomina condensador de placas paralelas.
Vale la pena mencionar que la carga total de un condensador es nula , ya que la carga del condensador ocurre a través de de un medio de transferir electrones de una placa a otra. Por tanto, la placa que gana electrones adquiere carga - Q = n (- e) , mientras que el que pierde electrones adquiere carga + Q .
La idea aquí es determinar el valor del campo eléctrico creado en ambos lados de las placas, es decir, entre los platos y fuera de ellos. Debido al hecho de que las cargas opuestas se atraen entre sí, todas las cargas se encuentran en las superficies internas de las dos placas. Por lo tanto, las superficies internas se pueden considerar como planos cargados con densidades de carga superficiales iguales y opuestas.
Figura 71-05
Observe en Figura 71-05 , que el campo eléctrico creado por la placa de carga positiva apunta
fuera de la superficie, mientras que el campo eléctrico creado por la carga negativa apunta en la
dirección de la superficie correspondiente.
Es fácil ver que los dos campos son paralelos, tienen la misma dirección y sentido, y también tienen la misma intensidad.
En un condensador, la distancia d es mucho menor que el área A de las placas del condensador. En el capítulo 3
se estudió que cuanto mayor es el área de las placas del condensador y menor la distancia entre ellas, mayor es la capacitancia del
condensador (C = ε A / d).
Dirigiendo nuestra atención a la Figura 71-05, nos dimos cuenta de que para determinar el campo resultante dentro del
condensador podemos usar el principio de superposición. Por lo tanto, sumando los dos campos, tenemos el campo resultante y apunta
de la placa positiva a la negativa. Por otro lado, fuera del condensador los campos apuntan en direcciones opuestas y, como vimos
anteriormente, el campo de una placa de carga es independiente de la distancia al plano, por lo que tienen el mismo módulo.
En consecuencia, los campos se cancelan entre sí fuera de las placas del condensador.
De esta forma, es posible calcular el campo entre las placas del condensador a partir del campo creado por un plano infinito
cargado, estudiado en ítem 4.5 y definido por eq. 71-27, mostrado
a continuación para mayor claridad. Así, el campo correspondiente a la placa cargada positivamente, apunta en la dirección de
la placa negativa y tiene un módulo igual a
Y el campo producido por la placa negativa tiene el mismo módulo que la ecuación anterior, y también apunta desde el placa
positiva a placa negativa, por tanto, podemos sumar los dos campos y así obtener el
campo resultante entre las placas del condensador.
eq. 71-31
Donde σ es la densidad de carga superficial de la placa y A es el área de superficie de cada placa de condensador.
Nos interesa analizar cómo se comporta una partícula cargada eléctricamente
cuando se somete a un campo eléctrico. Para nuestro estudio asumiremos que la partícula tiene una masa
m y una carga eléctrica q. Ya hemos estudiado en el ítem 2 que, en este caso, la partícula está bajo la acción de una fuerza debida al campo eléctrico y dada por eq. 71-02, que se repite a continuación:
Esta relación entre campo y fuerza constituye la definición de campo eléctrico.
Tenga en cuenta que la fuerza ejercida sobre una partícula cargada negativamente tiene el significado
opuesto al vector de campo eléctrico. ¡Los signos algebraicos son importantes!
Esta fuerza hará que la partícula cargada se acelere con una aceleración dada por
eq. 71-32
Esta aceleración es la respuesta de la partícula cargada al campo eléctrico al que está sometida. Mira
en eq.71-32 , que la relación q / m , conocida como relación carga-masa , asume un carácter muy importante en la dinámica del movimiento de una partícula cargada. Así, dos partículas con la misma carga puede experimentar diferentes aceleraciones si tienen diferentes masas. Por otro lado, las partículas con diferentes cargas y masas experimentarán la misma aceleración y seguirán la misma trayectoria, si tienen la misma razón carga-masa . Además, podemos agregar que una partícula cargada cuando se mueve por un campo eléctrico uniforme , tiene numerosas aplicaciones prácticas debido a su simplicidad de movimiento, perfectamente definida por la cinemática. Da eq. 71-32 podemos decir que
"Cada partícula cargada eléctricamente, en presencia de un campo eléctrico uniforme,
se moverá con aceleración constante."
La trayectoria básica de una partícula cargada eléctricamente en un campo eléctrico uniforme es una
parábola, similar al desplazamiento balístico de un objeto en el campo gravitacional uniforme
cerca de la superficie de la Tierra. Es importante agregar que para determinar la orientación de la
aceleración de la partícula cargada debemos determinar el vector de campo eléctrico. Debemos ser
conscientes del hecho de que si lanzamos la partícula cargada en paralelo al vector de campo eléctrico,
el movimiento será unidimensional.
Figura 71-06
En muchos dispositivos que utilizan un tubo de rayos catódicos, como televisores, monitores de computadora, osciloscopios, etc., se utilizan electrodos paralelos para desviar partículas cargadas.
La Figura 71-06 muestra un diagrama interno de un CRT (tubo de rayos catódicos).
Note que tenemos un filamento que, después de alcanzar una determinada temperatura, libera electrones.
Estos, a su vez, son acelerados por otra (llamada screen) que tiene un agujero en el centro para permitir el paso del haz de electrones. Este haz de electrones alcanza una gran velocidad,
alcanzando el 10% de la velocidad de la luz. Este conjunto de electrodos se llama
cañón de electrones .
Hay dos juegos más de electrodos paralelos. Uno de ellos se llama deflectores verticales (mostrado en
Figura71-06 ) y el otro de los deflectores horizontales (no se muestra en
Figura71-06 ), ambos encargados de producir un desplazamiento vertical y horizontal del haz de electrones.
Después de dejar las placas deflectoras, el haz de electrones se mueve (a través del vacío,
para evitar colisiones con moléculas de aire) directamente a la pantalla del tubo de rayos catódicos,
donde el electrón choca con una capa de fósforo en la superficie interna de la pantalla, produciendo
hay un punto brillante. La pantalla está alimentada por una fuente de voltaje eléctrico muy alto para
atraer el haz de electrones. Al ajustar correctamente los valores del campo eléctrico entre los deflectores,
a través de la variación de V d ,
los electrones se dirigirán a cualquier punto de la pantalla.
Ejemplo 71-2
Fuente:
Ejemplo 27.9 - página 837 - KNIGHT, Randall D. -
Libro: Física - una abordagem estratégica - 2ª edição - Ed. Bookman - 2009.
Un cañón de electrones genera un haz de electrones que se mueve horizontalmente con velocidad
de 3,3 x 10 7 m/s . Los electrones viajan a través de un espacio vacío de
2,0 cm de ancho entre dos electrodos paralelos, donde el campo eléctrico es
5,0 x 10 4 N / C orientado hacia abajo. ¿En qué orientación (ángulo y dirección) se desvía el haz de electrones por estos electrodos?
Solución
Figura 71-07
En el enunciado del problema se dice que el campo eléctrico tiene una orientación hacia abajo. Esto, en sí mismo, nos lleva a concluir que la placa deflectora superior está cargada positivamente y,
en consecuencia, la placa deflectora inferior está cargada negativamente. Entonces el haz de electrones, que tiene una carga negativa, será atraído por la placa cargada positivamente. Entonces, el haz de electrones hará una curva parabólica con orientación ascendente.
Observe, por Figura 71-07, que el haz de electrones tiene una velocidad horizontal inicial de
voH = 3,3 x 107 m/s y no tiene velocidad vertical inicial, es decir,
voV = 0 m/s. Por tanto, el haz de electrones al pasar entre los deflectores,
mantendrá constante la velocidad horizontal, ya que no hay fuerzas horizontales actuando sobre el.
Sin embargo, esto no sucede en la dirección vertical, ya que las placas deflectoras ejercen fuerzas verticales
sobre la rayo de electrones. En este caso, el haz de electrones adquirirá una aceleración vertical y, en
consecuencia, su velocidad final, verticalmente, será diferente de cero. Entonces, debemos calcular esta
aceleración y, para eso, usaremos la eq. 71-32 . Así, reemplazando con los valores numéricos y
recordando que la masa del electrón es igual a me = 9,11 x 10-31 Kg, encontramos
aV = (1,60 x 10-19)(5,0 x 105) / 9,11 x 10-31 =
8,78 x 1015 m/s2
Como foi afirmado anteriormente, a velocidade horizontal é constante e, por esse fato, podemos calcular o tempo
que o elétron leva para percorrer os 2,0 cm de largura dos eletrodos. Entonces
t = L / voH = 2 x 10-2 / 3,3 x 107 = 6,06 x 10-10 s
Como conocemos la aceleración vertical del haz de electrones, podemos calcular la velocidad vertical que ganará el haz al pasar por los electrodos en el tiempo t, recordando que la velocidad vertical inicial es cero.
voV = aV t = 5,32 x 106 m/s
Debemos ser conscientes de que aunque el rayo ha ganado velocidad vertical, continúa con la
velocidad horizontal, ya que no se ve afectada al pasar entre los electrodos.
Entonces, la velocidad final es una composición de dos velocidades: una horizontal y otra vertical. Pronto,
podemos escribir la velocidad final en su forma cartesiana, como se muestra a continuación:
vfinal = 3,3 x 107 î + 5,32 x 106 ĵ m/s
También es posible escribir la velocidad final en su forma polar. Para ello debemos calcular el módulo y el ángulo de compensación del haz. Para calcular el módulo, simplemente use el teorema de Pitágoras. Y para el ángulo de desviación tenemos
θ = tg-1 voV / voH = +9,16°
Entonces, en forma polar, obtenemos:
vfinal = 3,34 x 107 ∠ +9,16° m/s
Tenga en cuenta que el valor positivo del ángulo de compensación ya indica que la orientación de compensación del haz es hacia arriba. También es importante comprender que después de que el haz de electrones pasa a través de los electrodos, no hay fuerzas que actúen sobre el haz y sigue una trayectoria recta desde ese punto, como se muestra en Figura 71-07.
La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes en el sentido de que una puede derivarse de la otra. En la práctica, la ley de Gauss permite determinar algunos campos eléctricos estáticos que serían muy difíciles obtener de la ley de Coulomb. A su vez, la ley de Gauss es más general, ya que no se aplica sólo a la electrostática, sino también a la electrodinámica de campos que cambian con el tiempo. La ley de Gauss, a aplicar, depende mucho de la simetría del problema en cuestión. Por tanto, puede haber cilíndrica , esférica , etc ... En electrostática, podemos decir que una distribución de carga dada es simétrica si hay un grupo de transformaciones geométricas que no provocan cambios físicos.
En la literatura, a menudo tenemos la fuerza del campo eléctrico asociada con un determinado
número de líneas de campo. Estas líneas pueden desprenderse de la carga, si es positiva, o pueden orientarse
hacia la carga, si es negativa. El flujo eléctrico está asociado con el número de líneas de campo que
pasar por un área determinada, A , de la superficie considerada.
Para comprender el concepto de flujo eléctrico, imaginemos un bucle conductor de forma rectangular.
mostrando un área A = a b , donde a y b son las dimensiones de los lados del bucle, y que está inmerso en un campo eléctrico uniforme, como se muestra en Figura 71-08.
Figura 71-08
"Definamos flujo eléctrico como la cantidad de campo eléctrico que cruza el área efectiva del bucle."
El área efectiva del bucle viene dada por Aef = A cos θ = a b cos θ .
Debemos prestar atención al hecho de que el ángulo θ es el ángulo de inclinación del
eje del bucle en relación al campo magnético. Entonces, definamos un vector de área,
A→ = A n^,
con la dirección de n^, es decir, perpendicular a la superficie del bucle y con módulo igual al área A de la superficie. Si el campo eléctrico es uniforme, entonces podemos escribir el flujo eléctrico como el producto escalar entre el vector de campo y el vector de área.
Entonces esto se puede escribir como se muestra en el eq. 71-33.
eq. 71-33
Observe que por la ecuación anterior, si el vector de campo y el vector de área son perpendiculares entre sí, el flujo total será nulo , como se muestra en la Figura 71-08. De lo estudiado hasta ahora, podemos sacar las siguientes conclusiones:
Hay un flujo hacia afuera a través de una superficie cerrada alrededor de una carga neta positiva.
Hay un flujo hacia adentro a través de una superficie cerrada alrededor de una carga neta negativa.
No hay flujo resultante a través de una superficie cerrada alrededor de una región del espacio en la que la carga neta es cero.
En el ítem anterior, nuestras consideraciones fueron con respecto a un campo eléctrico uniforme en todo
de una superficie. En este ítem analizaremos el caso en el que el campo eléctrico no es constante, es decir, puede variar a lo largo de la superficie. Una de las formas de calcular el flujo eléctrico en la superficie es dividirlo en áreas pequeñas y luego calcular el flujo en cada área. Y para determinar el flujo total, simplemente encuentre la suma de los flujos para cada área pequeña. Sin embargo, las matemáticas nos brindan una poderosa herramienta para resolver esta suma, usando cálculo. Para ello, definiremos un área pequeña por dA . Por lo tanto, al hacer estas pequeñas áreas de tamaño infinitesimal, habrá una cantidad infinita de ellas a lo largo de la superficie total. De esta manera, la suma se puede transformar en una integral, y el flujo del campo eléctrico a través de la superficie total se puede expresar como:
eq. 71-34
La integral que aparece en eq. 71-34 se conoce como integral de superficie. La ley de
Gauss establece una relación entre el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y las cargas que son dentro de esa superficie. Tenga en cuenta que si no hay cargas dentro de la superficie considerada, la el flujo eléctrico en la superficie es NULL.
Comprender cómo la ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico dentro de una superficie.
Gaussiano con la carga dentro de esa misma superficie, se elige cualquier superficie
con una carga Q en el interior, como la superficie que se muestra en Figura 71-09.
Figura 71-09
Elegimos una superficie gaussiana, como una esfera de radio r y eso implica
cargue completamente el Q. En este caso, el flujo eléctrico a través de esa superficie esférica se da por eq. 71-34 .
Suponiendo Q como una carga positiva, vemos en Figura 71-09 el campo eléctrica que sale radialmente de la superficie.
Lo mismo ocurre con el vector dA.
Por tanto, el producto vectorial se convierte en un producto de los módulos. Dado que |E| es constante en la superficie
de la esfera, es posible eliminarlo de la integral. Y, por supuesto, que la integral de la área de superficie de una esfera es
el área de superficie esférica, igual a 4 π r2.
Por tanto, podemos escribir el flujo eléctrico como:
eq. 71-35
Haciendo las simplificaciones necesarias en eq. 71-35, podemos escribir la ley de Gauss en forma integral,
para una superficie cerrada, como:
eq. 71-36
La eq. 71-36 es válido incluso si hay más de una carga dentro de la superficie considerada, porque en ese caso, podemos usar el principio de superposición . Por tanto, el valor de
qint será igual a la suma de cargas superficiales internas.
Para expresar la ley de Gauss en su forma diferencial, debemos aplicar la divergente al campo y explicar la carga interna en función de la densidad de carga volumétrica, ρ . Luego, aplicando el teorema de Stokes obtenemos la forma diferencial, como se muestra en eq. 71-37.
