A través de experimentos, se observó que los portadores de carga estaban influenciados por
de otra fuerza, excepto la resultante de la acción del campo eléctrico.
Tal fuerza dependía no sólo de la posición de la partícula sino también de la velocidad de su
desplazamiento y esta fuerza se llamó Fuerza Magnética .
Así, en cada punto del espacio hay dos cantidades vectoriales que determinan
la fuerza resultante que actúa sobre una carga: una de ellas es la fuerza eléctrica , siendo independiente
del movimiento de la carga y es posible describirla en términos del campo eléctrico (como ya se ha estudiado);
el otro es un componente adicional llamado fuerza magnética.
Cuando hablamos del campo magnético, podemos ver algunas características propias cuando tenemos
cargas en movimiento. Se puede resumir de la siguiente manera:
La fuerza magnética es proporcional a la carga de la partícula.
La fuerza magnética es siempre perpendicular a la dirección de desplazamiento de la partícula.
Por esta razón, podemos decir que la fuerza magnética no produce trabajo,
porque cos 90° = 0.
Para entender mejor este comportamiento introduciremos la variable llamada vector
inducción magnética representada por la letra
B→. De esa manera, podemos definir
fuerza magnética por la siguiente ecuación:
eq. 74-01
Nota - Algunos libros llaman B→
como un campo magnético, aunque el correcto es densidad de inducción magnética.
Para representar la intensidad del campo magnético nos reservamos la representación
H→, como estudiaremos más adelante.
Como tenemos un producto cruzado entre dos vectores, entonces tenemos un tercer vector que es
ortogonal (ángulo de 90 ° ) a los otros dos vectores. En la Figura 74-01 vemos una representación
espacial de cómo se ve este producto. Observe que los vectores v→ y
B→ pueden formar un ángulo distinto de 90° entre sí.
Sin embargo, el ángulo entre ellos y la fuerza magnética siempre será 90°. Para determinar el sentido de la
fuerza magnética usamos la regla de la mano derecha, como se ilustra en la
Figura 74-01.
Tenga en cuenta que los dedos de la palma apuntan en la dirección del vector de velocidad. Al cerrar la mano hacia
el vector del campo magnético, el pulgar apunta en la dirección y sentido de la fuerza magnética. Nota que esto es
válido cuando la partícula tiene una carga positiva. Para carga negativa, simplemente invierta el sentido de la fuerza.
La eq. 74-01 se conoce como la forma vectorial de la fuerza magnética. Cuando estemos trabajando
con cantidades escalares podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:
eq. 74-02
Donde θ representa el ángulo entre los vectores v→ y
B→ y varía de 0 < θ < π .
Una conclusión que obtenemos de eq 74-02 es que si una carga eléctrica se mueve en paralelo
al campo magnético no sufre fuerza magnética, porque el ángulo entre el vector velocidad y el vector
campo magnético es igual a cero, porque como sabemos sen 0° = 0.
Entonces podemos decir que la fuerza resultante a la que se somete una carga eléctrica,
será la suma de la fuerza eléctrica con la fuerza magnética. Por tanto, podemos escribir que:
eq. 74-03
La eq. 74-03 representa la llamada Fuerza de Lorentz , esta muy importante ecuación del electromagnetismo.
Cabe señalar que la unidad de medida del vector inducción magnética es Tesla, equivalente a
10 000 gauss o ,1 Weber/ m2.
Si una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia con rapidez constante, podemos decir con certeza que existe una
fuerza de módulo constante que actúa sobre la partícula y apunta hacia el centro de la circunferencia, permaneciendo
perpendicular a la rapidez de la partícula. Podemos pensar en una carga que se mueve en una región donde hay un campo
magnético, como se representa en Figura 74-02.
La dirección y sentido de la fuerza magnética está perfectamente definida por la regla de la mano derecha ,
como se explicó anteriormente.
Naturalmente, existe interés en determinar los parámetros que caracterizan el movimiento circular de esta partícula
que tiene una carga |q|, masa m y que se mueve con rapidez
v→ perpendicular a un campo magnético
B→. Somos conscientes de la fuerza magnética,
dada por eq 74-02 , y sabemos que la segunda ley de Newton ( F = m a ) se aplicó
el movimiento circular representa la fuerza centrípeta. En este caso, para que la partícula permanezca en un
movimiento circular las dos fuerzas deben tener el mismo módulo. Por tanto, podemos escribir la siguiente igualdad:
eq. 74-04
Trabajando con esta ecuación, determinamos fácilmente el radio de la órbita de la carga, o:
eq. 74-05
También es posible calcular el período , T , del movimiento, que es el tiempo necesario
para completar una revolución. Como este tiempo viene dado por la longitud de la circunferencia dividida por el velocidad, este período se puede expresar por eq. 74-06, después del trabajo algebraico
para desde eq. 74-05.
eq. 74-06
Por otro lado, sabemos que la frecuencia del movimiento, medida en Hertz, es la inversa del período. Entonces, simplemente invierta la eq. 74-06 y obtenemos la frecuencia. Para el caso de frecuencia angular, puede ser calculado usando el eq. 74-07.
eq. 74-07
Las cantidades T, f y ω no dependen de la velocidad de las partículas, ya que su velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz. Por tanto, las partículas rápidas se mueven en círculos grandes, mientras que las partículas lentas se mueven en círculos pequeños. Cabe señalar que todas las partículas que tienen la misma relación carga-masa (|q| / m) completan una revolución al mismo tiempo, es decir, tienen períodos iguales. Basado en Figura 74-02 y observando la dirección del campo magnético B, la dirección de rotación de una partícula con una carga positiva es en sentido antihorario y para una partícula con una
carga negativa, la dirección de rotación es en sentido de las agujas del reloj .
En el ítem anterior estudiamos que cuando una partícula entra en una región que tiene un
campo de inducción magnético y su velocidad es ortogonal a él, realiza un movimiento circular.
¿Pero, qué sucede si la dirección del vector de velocidad no es ortogonal al campo de inducción
magnético?
Bueno, esto es lo que vamos a estudiar en este artículo.
Podemos decir que cuando este
sucede que el vector de velocidad se puede descomponer en dos componentes: uno que está en la misma dirección que el campo de inducción magnética; y otro que le sea ortogonal. El efecto es que, además de que la partícula hace un movimiento circular, debido a la componente ortogonal de la velocidad,
vort,
también se mueve en la misma dirección que el campo de inducción magnética, debido al componente
paralelo, vpar, generando un movimiento helicoidal.
La Figura 74-02.1 muestra este efecto.
Cabe señalar que todas las ecuaciones estudiadas en el ítem anterior también son válidas para el movimiento helicoidal. Aquí debemos agregar una nueva variable que se denomina paso de hélice . Podemos determinar su valor conociendo el período, T, del movimiento y la componente paralela de la velocidad, vpar. Por tanto, la ecuación eq. 74-07a determina el paso de la hélice.
"Cargas en movimiento son fuentes de campo magnético."
Debemos recordar que el campo magnético creado por una carga en movimiento se suma al campo eléctrico de la carga.
La carga siempre produce un campo eléctrico, ya sea en movimiento o no. Aquí, para calcular el campo magnético creado
por la carga eléctrica en movimiento, usaremos la ley de Biot-Savart para cargas puntuales.
Esta ley es similar a la ley de Coulomb , donde ambas dependen de la inversa del cuadrado de la distancia a punto
en el que desea calcular el campo. Sin embargo, la ley de Biot-Savart es un poco más compleja porque el campo
magnético depende del ángulo θ entre la velocidad de carga y la línea que va al punto donde el campo se mide,
como se muestra en Figura 74-03 .
Así, la ecuación que usaremos para calcular el campo magnético en el punto P se muestra en
eq. 74-08.
eq. 74-08
Observe que la eq. 74-08 introduce una nueva constante llamada permeabilidad magnética en el vacío
y representada por μo. El valor de esta constante es igual a:
μo = 1,257 x 10-6 = 4 π 10-7 H/m ( o N/A ).
Entonces es posible expresar μo / (4 π) = 10-7 H/m ( ou N/A )
Tenga en cuenta que la carga en movimiento produce un campo magnético. Si la carga está en reposo,
no habrá campo magnético, pero habrá un campo eléctrico. Podemos resumirlo de la siguiente manera:
"Las cargas crean campos eléctricos, pero solo las cargas en movimiento crean campos magnéticos."
La Figura 74-04 muestra una representación gráfica de cómo se posiciona el campo magnético en el
espacio en relación con la trayectoria de una carga positiva. Para una carga negativa, el sentido del campo
magnético debe invertirse, aunque el módulo es el mismo.
Nos interesa calcular el campo magnético producido por una corriente eléctrica, i, cerca de un conductor, cuando viaja a
través de ese conductor. Asumimos un punto cercano al conductor, llamado
P1. Si el conductor tiene una longitud s, podemos definir y representar un elemento infinitesimal de la
longitud del conductor por
ds→,
cuyo módulo es ds y cuya dirección es la dirección de la corriente en el elemento ds.
Podemos definir un
elemento de corriente por la relación
i ds→ y calcula el campo
dB→ producido en
P1 por un elemento de corriente típico, como se muestra en Figura 74-05.
Para determinar este campo usaremos la llamada Ley de Biot-Savart, que se define
según eq. 74-09 en su forma vectorial.
eq. 74-09
Por lo tanto, al hacer el producto vectorial, obtenemos:
eq. 74-10
Así, podemos encontrar el valor del campo magnético integrando la eq. 74-09. Considerando que una corriente total igual a I circula por el conductor, obtenemos:
Después de estudiar el campo magnético generado por cargas y corrientes, estudiaremos cómo una
corriente eléctrica que viaja a través de un cable conductor recto largo produce un campo magnético
en su vecindad. Para ello, nos basaremos en el esquema presentado enFigura 74-06.
Primero, seleccionemos un pequeño segmento del hilo y designémoslo Δx. En conjunto, el cable es eléctricamente
neutro, pero la corriente I representa el movimiento de cargas positivas a lo largo del cable. Queremos calcular el campo magnético
Bk→ en el punto P,
que a su vez está distante rk del segmento Δx.
Resolviendo de forma sencilla, podemos decir que el producto vectorial en eq. 74-09 es el mismo,
en módulo, sen θk. Entonces podemos escribir:
eq. 74-12
Como queremos hacer una integración en relación con x, debemos encontrar los valores de
rk y sen θ en función de xk. Nótese que aplicando el teorema de Pitágoras,
podemos relacionar las variables de interés, es decir, rk2 = xk2 + d2.
Por otro lado, podemos escribir:
eq. 74-13
Por tanto, al realizar las sustituciones en eq. 74-12 , obtenemos:
eq. 74-14
Ahora, en todos los puntos, sus campos magnéticos están perfectamente definidos. Para lograr el resultado total debemos sumarlos todos.
Para hacerlo, usaremos la integral entre los límites menos y más
infinito, como se muestra en eq. 74-15.
eq. 74-15
eq. 74-16
Como resultado final de la integración obtenemos la eq. 74-17 que calcula el campo
en el punto P.
Vimos el resultado de un campo magnético producido por un cable recto largo. Ahora veamos qué pasa
si doblamos el cable en forma de bucle. Entonces, acerquémonos al bucle a través de un anillo
conductor y calculemos el campo producido por una corriente que circula a través del anillo en
sentido antihorario, como se muestra en Figura 74-07.
Usamos el eje z ortogonal al plano formado por el área del bucle. Los otros dos ejes cortan
el plano formado por el área del bucle, como podemos ver en la Figura 74-07. Tomemos un elemento infinitesimal
ds→
del bucle y analizar el campo en el punto P .
Entonces, usando la regla de la mano derecha, nos damos cuenta claramente de que el elemento ds produce un elemento de
campo dB ortogonal al versor rˆ.
Nos interesa calcular el campo en el eje del bucle, que coincide con el eje z . La figura anterior muestra que
podemos descomponer el vector elemental dB en dos componentes: uno en el eje y, representado
por dBy, y otro en el eje z, representado por dBz. Note que,
por simetría, el componente
dBy no contribuye al cálculo del campo en el punto P, porque por cada elemento ds
que consideremos siempre habrá otro punto diametralmente opuesto que producirá un campo del mismo módulo, pero en sentido
contrario, cancelando el aporte de ese punto. Por otro lado, considerando el mismo razonamiento anterior, encontramos que
el componente dBz, para cada elemento ds que consideremos, habrá otro punto diametralmente
opuesto, contribuyendo a la producción del campo magnético en el punto P. El vector resultante es la suma de los dos.
Por tanto, podemos expresar el resultado mediante una integral, o:
eq. 74-18
Para el cálculo del campo usaremos la ley de Biot-Savart. Esta ley, ya estudiada en el ítem
2.3, fue presentada en la eq. 74-11. De la Figura 74-07 vemos que
dBz = dB senθ. Entonces, por trigonometría sabemos que senθ = R / r.
Además, a partir de la trigonometría, podemos obtener otra relación, dada por
r2 = R2 + z2.
Y en el producto vectorial tenemos
ds→ x rˆ = ds sen 90° = ds. Sustituyendo estos valores en eq. 74-11, obtenemos:
eq. 74-19
Debemos prestar atención a que en esta ecuación los valores de I, R y z son constantes, por lo que pueden salir de la integral . Por tanto, solo deberíamos integrar ds. La ecuación se ve como se muestra en eq. 74-20.
eq. 74-20
Dado que la integral de ds es el círculo completo, esto significa que su resultado es la longitud de la circunferencia, es decir, 2 π R. Luego, la ecuación final que determina el campo en el
punto P, ubicado en el eje del bucle, viene dada por eq. 74-21.
eq. 74-21
Esta ecuación le permite calcular el campo en cualquier lugar del eje z. A partir de esta ecuación, podemos determinar el campo exactamente en el centro del bucle, solo z = 0. Con esto obtenemos:
Como vimos en el ítem anterior, el campo magnético en el centro de un bucle se puede determinar mediante eq. 74-22. Un solenoide, también conocido en el campo técnico como bobina, puede entenderse como una serie de vueltas yuxtapuestas (una al lado de la otra), generando un elemento que cuando circula una corriente eléctrica por el hilo conductor que forma el incluso establece un campo magnético. En Figura 74-07 podemos ver el esquema de un solenoide. Utilizando la regla de la mano derecha, determinamos que el flujo apunta a la izquierda de la figura, ya que la corriente circula en sentido antihorario. Donde sale el flujo lo llamamos norte y donde entra el flujo lo llamamos sur
(una analogía con los polos de un imán permanente), como se puede ver en la Figura 74-08.
Un solenoide tiene un cierto número de vueltas representadas por la letra N. Luego, con base en lo que estudiamos en el ítem anterior, donde el campo magnético en el centro de un bucle puede ser determinado por eq. 74-22, podemos extender este concepto para determinar el campo magnético dentro de un solenoide. Para ello, nos damos cuenta de que el flujo pasará por N vueltas, por lo que la ecuación que determina el campo dentro del solenoide se puede expresar mediante
eq. 74-23
Cabe señalar que algunos autores en sus libros prefieren reemplazar la relación N/LS por la letra n.
Así, la letra n representa el número de vueltas del solenoide por unidad de longitud. Entonces la eq. 74-23
da la eq. 74-23a, a continuación.
Como estudiamos anteriormente, si la distribución de carga tiene una simetría plana, cilíndrica o esférica,
podemos usar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico total, facilitando los cálculos. En el
caso del campo magnético total, asociado a cualquier distribución de corriente, aunque sea complicado, pero si
existe algún tipo de simetría podemos usar la ley de Ampère para determinar el campo magnético total.
La ley de Ampère se basa en un procedimiento matemático llamado
línea integral. Esta ley fue desarrollada por el físico André-Marie Ampère (1775-1836) y posteriormente
perfeccionada por el físico Clerk Maxwell (1831-1879).
En la Figura 74-09 vemos la representación de un cable conductor recto a través del
cual fluye la corriente I (entrando en la página). A una distancia r del centro
del cable tenemos el campo magnético tangente al círculo. Tenga en cuenta que las líneas de
campo son circunferencias centradas en el conductor.
Como ya vimos en el ítem 2.4, el campo magnético producido por un cable recto largo viene
dado por eq. 74-17. Lo reproduciremos aquí, adaptándolo a la Figura 74-08, o
eq. 74-24
Como se dijo anteriormente, la ley de Ampère usa una integral de línea a lo largo de un
camino, como se muestra en la Figura 74-09. En la figura vemos que el radio es constante
alrededor de la circunferencia, por lo que el campo magnético, B, también lo es.
Por lo tanto, podemos eliminar
B de la integral y escribir:
eq. 74-25
Es una línea integral a lo largo de un camino completo hasta que se cierra la curva elegida.
Esta ruta se conoce como amperian. Esto significa que debemos partir de un cierto punto i y volver al mismo punto.
Esta integral es el producto escalar entre el campo magnético asociado con la curva acotada y un elemento infinitesimal de la línea
de integración. De este producto escalar, podemos aprender dos lecciones:
Si el campo magnético es perpendicular a la línea en cualquier punto de la línea, entonces la integral de la línea es NULO.
Si el campo magnético es tangente a la línea de longitud L en cualquier parte y
tiene la misma intensidad en cualquiera de sus puntos, por lo que el valor de la integral es igual
a BL.
Por tanto, simplificando la eq. 74-24 encontramos la ecuación que define la
Ley de Ampère, o
eq. 74-26
La señal de corriente depende de la dirección de integración en relación con la corriente. La regla de la
mano derecha indica si, en la dirección de la integral de línea adoptada, la corriente es positiva o negativa.
Si la ruta de integración no incluye un conductor, entonces el resultado de la integral de línea será nulo.