Problema + Difícil 55-8    Fuente:   Adaptado del Problema 4 - RLC 2008 Lista de Problemas IV - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 2008 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

En el circuito que se muestra en la Figura 55-08.1, se sabe que la lectura del voltímetro V es 70 V. Además, el voltaje E está 30° detrás de V_ab. Determine la magnitud y la fase de la fuente de tensión E, así como el valor y naturaleza de X. También determine el valor de V_ab, I y el voltaje V_ca. Haga un diagrama fasorial de las tensiones principales en el circuito.

Solución del Problema + Difícil 55-8

Las dos impedancias que están en paralelo se pueden determinar y nombrar de la siguiente manera:

La fase de tensión V_ab no se mencionó en el enunciado del problema. Por lo tanto, es conveniente tomarlo como referencia, haciendo V_ab = V_ab ∠0°. Así, utilizando esta referencia, se pueden calcular las corrientes I_L y I_C. Entonces:

Del circuito se comprueba que I = I_L + I_C. Tenga en cuenta que I_L y I_C son 90° desfasados ​​entre sí. Entonces es posible usar el teorema de Pitágoras para calcular I. Realización del cálculo:

Observando el circuito con mucha atención y teniendo en cuenta la información dada en el planteamiento del problema, es posible construir el diagrama de fase de las tensiones y corrientes de interés para la solución del problema. Este diagrama se muestra en la figura abajo.

Tenga en cuenta que los puntos de interés están marcados en el circuito y en el gráfico de arriba. A partir del circuito es posible calcular la impedancia entre los puntos a-b al resolver el paralelo existente entre estos puntos. Llamando a esta impedancia Z_ab y realizando el cálculo, obtenemos:

Y la impedancia existente entre los puntos c-a y llamándola Z_ca:

Así, el voltaje entre estos puntos y llamándolo V_ca es:

Realización del cálculo:

Ahora es necesario calcular el voltaje V_am. Tenga en cuenta que este voltaje está en la resistencia de 5 ohmios donde la corriente fluye I_L. Pronto:

Realización del cálculo:

Tenga en cuenta que los dos voltajes calculados están en fase (-60°), como se muestra en el gráfico anterior. La suma de estos voltajes es exactamente igual a la lectura del voltímetro V (70 voltios). Así, se puede escribir:

Tenga en cuenta que los dos voltajes calculados están en fase (-60°), como se muestra en el gráfico anterior. La suma de estos voltajes es exactamente igual a la lectura del voltímetro V (70 voltios). Así, se puede escribir:

Ahora puedes calcular fácilmente el valor de V_ab, porque:

Con estos datos es posible calcular el valor de V_ca como se solicita en el planteamiento del problema, o bien:

Com o valor de V_ab é possível calcular o valor de I, ou:

Para proceder a la solución del problema, se decidió reducir el circuito que presentaba la resistencia de 4 Ω con la reactancia X. Tenga en cuenta que el punto n es la unión de los dos componentes. La figura al lado muestra esta configuración de acuerdo con el gráfico que se muestra arriba. Tenga en cuenta que todos los componentes están en serie y la corriente I fluye a través de ellos.

Pode-se calcular a tensão sobre o resistor de 4 Ω, que é a tensão V_nc = 4 I. Fazendo-se a substituição numérica e calculando, encontra-se:

Mirando el gráfico anterior, observe que desde el punto n hasta el voltaje E, lo que tiene es el voltaje en el elemento X, que se llamará V_x. Este voltaje debe estar 90° detrás de la I (misma fase que V_nc) para que el polígono se cierre en el punto E. Así, es evidente que el elemento X es un condensador.

En este momento hay dos incógnitas para determinar: el valor de E y el valor de V_x. Puede ser determinado de forma gráfica o analítica.

Gráficamente conocemos el valor de la tensión V_nc y el ángulo de -15° con respecto a V_ab. En el punto n, dibuja una línea perpendicular a V_nc hasta encontrar el fasor E, que a su vez tiene un ángulo -30° con respecto a V_ab. Comprueba que V_x tiene el mismo valor que V_nc. Como los dos componentes (resistencia y condensador) están en serie y conducen la misma corriente, resulta que:

Cálculo Analítico

Para un cálculo analítico, debe trabajar con la ecuación lineal. Recordando que la ecuación reducida de la recta viene dada por y = a x + b, e que a = tan φ, onde φ é o ângulo que a reta faz com a linha de referência (en este caso, V_ab). Para el voltaje V_nc, se sabe que el ángulo es -15°. En consecuencia a = tan (- 15°) = - 0,268. Y para encontrar la ecuación de la línea, debes conocer un punto en la línea. Usando el punto n, x_n y y_n se calculan de la siguiente manera:

Listo. Conociendo un punto en la línea y su coeficiente angular, es posible determinar la ecuación usando la siguiente relación:

Sustituyendo valores numéricos y realizando el cálculo:

Como se sabe que V_x es perpendicular a V_nc, el siguiente paso es encontrar la ecuación de la línea perpendicular a la V_nc que pasa por el punto (x_n , y_n ) . De modo que dos líneas son perpendiculares, sus coeficientes angulares deben obedecer a la relación a_p = - (1/a). Entonces, se determina que el valor del coeficiente angular de la recta perpendicular es a_p = 3,73. Volviendo a la relación ⓵, encuentra la ecuación de la recta perpendicular a V_nc, o:

Para determinar los valores de E y V_x, debes conocer la ecuación de la recta E. Como esta línea pasa por el origen, solo conoce su coeficiente angular, o a_E = tan (-30°) = - 0,577. Entonces la ecuación es:

Ahora que conoces la ecuación de las dos rectas de interés, debes determinar el punto donde se cruzan. Entonces, subtraindo-se ⓷ de ⓶ e lembrando que no punto de intersección y_E = y_p y x_E = x_p , obtienes

De esta relación se obtiene el punto de intersección de E y V_x. Así:

Para el cálculo de y_E se utilizó la ecuación ⓷. Con estos datos se puede calcular la longitud del fasor E. Al pasar por el origen, entonces:

Así, el fasor E es:

Finalmente, se puede realizar un cálculo analítico de X, recordando que V_x = 56,56 ∠-105°. Pronto

Realizando el cálculo, encontramos:

Tenga en cuenta que, analíticamente, se deduce que X es un condensador.