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Figura 58-1.1

    Atención - En la lista de ejercicios de la UFRGS, la respuesta a este problema tiene un error tipográfico. La respuesta correcta es:   X = 12,   XC = 4,96   y   R' = 2,57.


    Solución del Problema + Difícil 58-1

    Inicialmente transformemos el circuito paralelo RL (parte superior del circuito) en un circuito serie RL y calculemos el paralelo de R y L. Así:

    ZRL = 2,5 x j 1,25 / (2,5 + j 1,25) = 0,5 + j   Ω

    Luego podemos reorganizar la topología del circuito como se muestra en la Figura 58-1.2. Tenga en cuenta que las resistencias que estaban en serie tenían sus valores sumados. La corriente que fluía a través de la rama derecha se denominó I2∠φ. Tenga en cuenta que elegimos un ángulo positivo, ya que asumimos XC > 1, es decir, el circuito tiene predominancia capacitiva. Y la corriente que fluía por la otra rama se llamaba I1∠-θ. Aquí se eligió un ángulo negativo, ya que suponemos que X > 5,07, es decir, de predominio inductivo. Es lógico suponer que para que haya resonancia una de las ramas debe tener predominio capacitivo mientras que la otra es inductiva.

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Figura 58-1.2

    Por otro lado, como queremos que el circuito esté en resonancia, sabemos que la corriente debe estar en fase con el voltaje aplicado al circuito. Elija para corriente total, IT, fase cero, así como para tensión V. Como la fase de las corrientes no se especificó en el planteamiento del problema, puede elegir la que sea más conveniente para la solución.

    Después de estas consideraciones, la ley de nodo de Kirchhoff para este circuito se puede escribir:

    I1∠-θ + I2∠φ = IT∠0°

    De los datos proporcionados en el comunicado, se sabe que:

    |I1| = 10   ,   |I2| = 13,227   ,   |IT| = 15

    Con esta información podemos encontrar los valores de θ y φ, ya que sabemos que los tres fasores anteriores representar los tres lados de un triángulo. Vea en la Figura 58-1.2 que podemos determinar el valor del ángulo φ aplicando la ley de los cosenos (como se explica en el capítulo 51 Haga click aquí!).

    I12  =  IT2 + I22 - 2 IT I2 cos φ
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Figura 58-1.2

    Sustituyendo datos numéricos, encontramos:

    cos φ = -300 / - 396,81 = 0,756

    Aplicando la función inversa de cos encontramos el valor de φ.

    φ  =  cos-1   0,756  =  40,89°

    Para encontrar el valor de θ usaremos la siguiente relación (tomada del gráfico anterior) que relaciona la función seno con ambos ángulos.

    -10 sen θ + 13,227 sen φ = 0

    Sustituyendo los valores numéricos, tenemos:

    -10 sen θ + 13,227 sen 40,89° = 0

    Aplicando la función seno inversa encontramos el valor de θ.

    θ  =  sen-1   0,866  =  60°

    Por lo tanto, usando las dos ecuaciones obtenidas del gráfico anterior, es posible verificar si los ángulos encontrados son correctos.

    10 cos 60° + 13,227 cos 40,89° = 15
    -10 sen 60° + 13,227 sen 40,89° = 0

    Tenga en cuenta que si la corriente I1 se retrasa 60°, entonces la impedancia a través de la cual fluye I1 debe ser del tipo Z1 ∠ 60°. Entonces, se puede escribir que:

    tan 60° = √3 = (X - 5,07) / 4

    Realizando el cálculo, obtenemos:

    X = 12 Ω

    Con el valor de X podemos calcular la impedancia por la que circula I1 ya partir de estos datos encontramos el valor de V. Así, Z1 = 4 + j6,93 = 8 ∠60°. De esa forma:

    V = Z1 I1 = 8 ∠60° x 10 ∠-60° = 80 ∠0°

    Con el valor de V, podemos calcular fácilmente la impedancia por la que circula I2, es decir, Z2 , ya que sabemos que I2 = 13,227 ∠40,89°. Pronto:

    Z2 = V / I2 = 6,048 ∠-40,89° = 4,57 - j3,96   Ω

    Igualando este valor de Z2 con la rama por donde circula I2, tenemos:

    Z2 = 4,57 - j3,96 = R' + 2 + j(1 - XC)

    Igualando la parte real, tenemos:

    4,57 = R' + 2       ⇒       R' = 2,57   Ω

    Ahora igualando la parte imaginaria, tenemos:

    -j3,96 = j(1 - XC)       ⇒       XC = 4,96   Ω

    Considerações Finais

    Podemos realizar un balance de potencia para comprobar la veracidad de los valores encontrados. La fuente de tensión suministra una potencia activa de:

    Pfuente = - V IT = - 80∠0° x 15∠0° = - 1.200 W

    Quienes disipan esta potencia son las resistencias existentes en el circuito. Entonces la potencia disipada en la resistencia de 4 Ω va:

    P4 = 4 |I1|2 = 4 x 102 = 400 W

    No outro ramo, a potência dissipada pelo resistor de 4,57 Ω (soma de 2 + R') é:

    P4,57 = 4,57 |I2|2 = 4,57 x 13,2272 = 800 W

    Por lo tanto, la suma de las potencias en las resistencias es 400 + 800 = 1.200 watts. Exactamente la cantidad de energía suministrada por la fuente de voltaje. Y para concluir, debemos tener la potencia reactiva total igual a cero. Vamos a revisar.

    QT = 6,93 |I1|2 - 3,96 |I2|2 = 693 - 693 = 0

    Por lo tanto, concluimos que en resonancia la impedancia de todo el circuito debe ser igual a una resistencia pura, cuyo valor se puede calcular aplicando la ley de Ohm, o:

    R = V / IT = 80 / 15 = 5,33   Ω