Problema + Difícil 55-7    Fuente:   Problema 7 - RLC 2008 Lista de problemas IV - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 2008 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

En el circuito mostrado en la Figura 55-07.1, determine la magnitud y fase de la fuente de voltaje E, y el valor de Z (se sabe que Z = X∠60°, donde X es una constante a determinar). También determine el valor de la constante A, sabiendo que la corriente I₃ es 15 A y el voltímetro V indica 75 V. También se sabe que el ángulo α es 60° por delante de V_ab. Tenga en cuenta que el voltaje sobre Z se proporciona en el circuito.

Valores de Resistencia:   R₁ = 10√3 Ω   R₂ = R₃ = 2,5√3 Ω

Solución del Problema + Difícil 55-7

Para resolver este problema, se asume como voltaje de referencia el voltaje V_ab, entonces V_ab ∠0°. El voltaje en Z se llamará V_Z. Y la impedancia por la que circula I₁, como Z₁. Asimismo, donde circula I₂, como Z₂. Así, escribiendo estas impedancias, en forma cartesiana y polar, tenemos:

Como las dos impedancias están en paralelo, es decir, están en la misma diferencia de potencial, se concluye que:

Esto se debe a que, en términos de módulo, Z₂ tiene la mitad del valor de Z₁. Como sabes los ángulos de Z₁ y Z₂, así como el ángulo de V_ab, entonces uno puede determinar los ángulos de I₁ y I₂.

Por lo tanto, se sigue que I₁ está 30° por delante de V_ab y I₂ está 30° detrás de V_ab. Tenga en cuenta que a partir del enunciado del problema, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 es 75 voltios. Por otro lado, el voltaje a través del capacitor está dado por:

Usamos el hecho de que -j10 = 10∠-90°. De manera similar, uno puede escribir el voltaje sobre R₃, o:

Pero, se sabe que |I₂| = 2 |I₁|. Haciendo esta sustitución en la ecuación anterior, obtenemos:

El siguiente gráfico en la Figura 55-07.2 ilustra esta situación de forma didáctica.

Según el gráfico anterior, conocemos el ángulo formado por V_C y V_R3 (30 °). Además, también se conoce el tamaño del lado opuesto al ángulo. Y, en las ecuaciones anteriores, V_C y V_R3 están en función de I₁. Por tanto, el valor de I₁ se encuentra aplicando la ley de los cosenos. Entonces:

Usando la ecuación anterior algebraicamente:

Realizando el cálculo, el valor de |I₁| es:

Y como ya se ha determinado que |I₂| = 2  |I₁|, entonces:

Sin embargo, del gráfico anterior, se conocen las fases de I₁ y I₂. Así:

Con estos valores, puede determinar el valor de V_ab. Entonces:

Conociendo el valor de V_ab y V_Z = 180 ∠60°, se puede calcular el valor y fase de la fuente de tensión E. Entonces, del circuito:

Sustituyendo valores numéricos y realizando el cálculo:

Importante -   Del enunciado del problema se sabe que la impedancia Z tiene una fase de 60°. Sin embargo, la diferencia de potencial sobre ella también tiene una fase de α = 60°. Para que esto suceda, es evidente que la fase de la corriente total, I_T, la corriente que circula por Z, debe tener una fase igual a cero. Tener conocimiento de esto particularidad, se puede determinar la fase de la corriente I₃.

Sabiendo que I₁ = 15∠+30° y I₂ = 30∠-30° es fácil entender que la fase de I₃ debe ser igual a 30°, por lo que obtienes I₁ + I ₃= 30∠+30°. Nota este valor es el simétrico de I₂. Sumando las tres corrientes juntas, el resultado es una corriente total con fase cero.

Realizando el cálculo, I_T es igual a:

Con el valor de I_T, es fácil calcular el valor de Z, o:

Realizando el cálculo, Z es igual a:

Importante -   Conociendo los valores de V_ab y I₃, puede calcular el valor de impedancia Z₃ , esta impedancia de rama donde circula la corriente I₃.

Realizando el cálculo, Z₃ es igual a:

Y, con base en el enunciado del problema, esta impedancia debe ser igual a:

Comparando las dos últimas ecuaciones, se concluye que: