Problema + Difícil 55-5
Fuente: Adaptado del Problema 30 - Lista de Problemas RLC - Disciplina
Circuitos Eléctricos de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.
Se sabe que Vab = 60√3∠θ y que el voltímetro V mide 60 V
entre los puntos 1 y 2 en el circuito que se muestra en la Figura 55-05.1, determine:
a)Vcb sabiendo que está 30° detrás de V ab ;
b) El valor de Vac y IT;
b) Los valores de R y X.
Figura 55-05.1
Solución del Problema + Difícil 55-5
Item a
Como sabes, un voltímetro no hace circular corriente. De esta forma, la corriente I1 circula por el ramal c-2-b, mientras que I2 recorre la rama c-1-b. Luego, siguiendo el camino indicado por la flecha naranja, podemos escribir la siguiente ecuación:
-(3 + j 3√3) I1 + (1 + j √3) I2 = -60
De la misma forma, podemos seguir el camino indicado por la flecha verde y obtener la ecuación:
(3 - j√3) I1 - (1 - j3√3) I2 = -60
Así, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se puede resolver por sustitución, regla de Cramer o por Octave. De esta forma obtenemos el siguiente valor para I1:
I1 = 7,5 - j 4,33 = 8,66∠-30° A
Y para I2, obtenemos:
I2 = 7,5 + j 13 = 15∠60° A
Conociendo I1 podemos determinar fácilmente el valor de Vcb. Para eso, calculemos el
impedancia de la rama c-2-b, que llamaremos Z1.
Z1 = 6 + j 2√3 = 6,93∠30° Ω
Entonces Vcb será:
Vcb = Z1 I1 = 60∠0° = 60 volts
Item b
Como conocemos el valor del ángulo de Vcb, ahora podemos determinar el ángulo θ
del voltaje Vab, porque de acuerdo con el enunciado del problema debe estar 30° por delante
de Vcb.
Logo:
Vab = 60√3∠30°
Para determinar Vac simplemente aplique la ley de Kirchhoff para el voltaje, o:
Vab = Vac + Vcb ⇒ Vac = Vab - Vcb
Realizando el cálculo se encuentra el valor de Vac, o bien:
Vac = 60∠60°
Para encontrar IT simplemente agregue las corrientes I1 y I2.
IT = I1 + I2 = 15 +j 8,66 = 15∠60°
Item c
La impedancia entre los puntos a y c se puede representar mediante:
Zac = R ± jX
Como sabemos el valor del voltaje entre estos puntos y la corriente que fluye entre ellos,
aplicando la ley de Ohm encontraremos Zac, o bien:
Zac = Vac / IT = 3 + j√3
Ahora, comparando las dos últimas ecuaciones, parte real con parte real y parte imaginaria con imaginaria, encontramos:
R = 3 e +j X = +j √3
Por tanto, se concluye que el elemento reactivo entre los puntos a y c es un inductor de
reactancia igual a √3 Ω
Consideraciones finales
Finalmente, calculemos las potencias involucradas en el circuito. Primero, calculemos la potencia aparente suministrada por la fuente de voltaje.
S* = Vab IT* = 60√3∠30° x 17,32∠-30° = 1800∠0° VA
Observe, en la ecuación anterior, que IT* es el complejo conjugado de IT.
Por otro lado, el ángulo de la potencia aparente es cero, lo que significa que la potencia reactiva del circuito es
NULO. Vamos a revisar. La potencia activa disipada por las resistencias es:
P = 3 x (17,2)2 + 6 x (8,66)2 + 2 x (15)2 = 1.800 W
Tenga en cuenta que la potencia activa es igual a la potencia aparente, es decir, no tenemos potencia reactiva en el circuito.
Entonces podemos decir que el factor de potencia del circuito es unidad. Calculemos la potencia reactiva
de los inductores del circuito.
