Problema + Difícil 55-4    Fuente:   Problema 38 - Lista de problemas de RLC - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

Para el circuito de la Figura 55-04.1 tenemos que |V_R| = 2. |I|. Sabemos que V_R es retrasado 90° con respecto a I. Además, X es un componente R , L o C puro.   Determine R y  X.

Solución del Problema + Difícil 55-4

Intentemos simplificar el circuito resolviendo el paralelo de las impedancias 2 + j 2 y 2 - j 2. Haciendo el cálculo encontramos el equivalente a una resistencia igual a 2 Ω. Por otro lado, en el lado derecho del circuito, podemos sumar la reactancia -j del capacitor y la resistencia de 4 Ω con la impedancia que está dentro del rectángulo rojo, ya que estos componentes están en serie. En la Figura 55-04.2 podemos ver cómo resultó el circuito después de la simplificación.

Según el circuito, podemos calcular el valor de I, o:

Observe que 2 - j 2 = 4,472∠-63,43°. Pero del enunciado del problema sabemos que |V_R| = 2 |I| y también que V_R está 90° atrás por relación con I. Pronto:

Para el circuito, V_R es el voltaje a través de la resistencia igual a 4 Ω. Entonces podemos calcular la corriente que fluye a través de él, que llamaremos I₁, como circuito de arriba.

Conociendo la corriente I₁, se puede calcular la impedancia equivalente del circuito de la derecha resistencia de 4 Ω (incluida ésta), es decir, entre los puntos a - c, que se llamará Z_ac. Entonces:

Ahora, restando a este valor de Z_ac el valor de la impedancia que está dentro del rectángulo rojo, encontramos el valor de la impedancia que formó el circuito al poner en paralelo las impedancias R ± jX y 2 + j4, o es decir, la impedancia entre los puntos b - c y que se llamará Z_bc. Entonces:

Para calcular R y X, calcule el paralelo de R ± j X y 2 + j 4 y es igual al valor de Z_bc que se encuentra arriba. Así:

Trabajando algebraicamente la relación anterior, igualando la parte real del primer miembro con la del segundo miembro y haciendo lo mismo con la parte imaginaria, llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como sigue:

Y la solución de este sistema es:

Por tanto, se concluye que el valor de R es 8 Ω y X es un condensador que presenta reactancia de 4 Ω.