Problema + Difícil 53-2    Fuente:   ejercicio 8-21 - pag. 407 - TOMÁS, Roland E., ROSA, Albert J. , THOUSSAINT, Gregory J. -   Libro: El análisis y diseño de circuitos lineales - 6ª Edición - Ed. John Willey & Sons, Inc. - 2009.

Usando la superposición encuentre el voltaje V_o(t) en el circuito se muestra en la Figura 53-02.1, sabiendo que:      i₁(t) = 100 cos(10.000 t) mA      y      v₁(t) = 20 cos(20.000 t - 45°) V.

Solución del Problema + Difícil 53-2

Este problema tiene la particularidad de tener dos fuentes de energía que funcionan en diferentes frecuencias. De esta forma, para resolver el problema utilizaremos superposición, analizando el circuito de forma independiente para cada fuente y, al final, sumamos las respuestas.

Debido a esta particularidad, el capacitor tendrá dos reactancias diferentes, uno para cada fuente. Comencemos con la fuente de corriente que tiene ω = 10 000 rad/s.

Considerando solo la fuente de corriente, debemos eliminar la fuente de voltaje. Nosotros hacemos esto cortocircuitando esta fuente. Entonces nos quedamos con un circuito donde el capacitor y la resistencia están en paralelo. Calculando la impedancia equivalente de este paralelo, tenemos:

Podemos calcular fácilmente el voltaje v_o(t) porque solo necesitamos multiplicar la impedancia corriente eléctrica que circula por él. Así:

Tenga en cuenta que el valor de la fuente actual estaba en mA y lo cambiamos a amperio. Realizando el cálculo, obtenemos:

Ahora debemos calcular v_o(t) debido la fuente de voltaje. Para tanto, debemos eliminar la fuente actual. Esto se consigue eliminándolo del circuito porque, en este caso, la fuente de corriente es un circuito abierto. Así que nuestro circuito se reduce a a un capacitor en serie con la resistencia.

Tenga en cuenta que la fuente de voltaje tiene una frecuencia de    ω = 20 000 rad/s. Con esta nueva frecuencia, calculemos la nueva reactancia del capacitor.

Entonces la impedancia del circuito es  Z_eq   =   100 - j 50   =   111,8 ∠-26,56°   Ω.   Para calcular v_o(t) basta con aplicar un divisor de tensión, es decir:

Sustituyendo los valores numéricos, tenemos:

En forma trigonométrica tenemos:

Para encontrar la solución final debemos sumar estos resultados. Entonces:

Vea en la Figura 53-02.2, la forma de onda que se desarrolla en el capacitor cuando tenemos dos fuentes de energía actuando sobre el circuito con diferentes frecuencias.