Problema 53-2    Fuente:   Problema 4 - Lista de problemas de RLC - Disciplina Circuitos Eléctricos de la Escuela de Ingeniería. - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

En el circuito de la Figura 53-02.1, V = - 300 sen (100 t - 20°) y I = 20 sen(100 t - 146,9°). Determine R y X.

Atención:    En la lista de Ufrgs, hay algunos errores tipográficos. En la corriente I, en lugar de ω t, es 100 t. La corriente I no se muestra en el dibujo. Ver circuito arriba con corrección. Aparece la respuesta X = C = 1 250 uF.   X es la reactancia en ohmios. C es la capacitancia en faradios. Pronto a la respuesta correcta es: R = 4 Ω,   X = 8 Ω   y    C = 1 250 µF.

Solución del Problema 53-2

Inicialmente, el equivalente de Thévenin se calcula para la fuente y las dos resistencias conocidas en el circuito. Por lo tanto, el circuito remodelado se muestra en la Figura 53-02.2, donde el voltaje Thévenin es V_th = - 200 sen(100 t - 20°) y la resistencia Thévenin es el paralelo entre las resistencias 3 ohmios y 6 ohmios, resultando en 2 ohmios. La corriente I permanece igual, circulando por R y X.

Para resolver este problema, primero debemos entender la relación entre V y I. Observe que la función - sen ω t puede ser representada por la función + sen (ω t + 180°) o + sen (ω t - 180°). En este caso particular, se eligió la segunda alternativa. Por lo tanto, escribiendo V como:

Note que tanto V como I se escriben como una función seno positiva . Entonces, podemos determinar la diferencia de fase entre los dos valores. No olvide que la impedancia equivalente para la fuente viene dada por el cociente entre voltaje y corriente . De esta manera, puedes escribir:

De este resultado se concluye que el circuito tiene un predominio capacitivo, ya que el ángulo de impedancia equivalente es negativo. Recuerde que la tangente del ángulo viene dada por el cociente entre la parte imaginaria de la impedancia y su parte real. En base a esa información:

Realizando el cálculo, encontramos la siguiente relación entre X y R:

Del valor encontrado de la impedancia equivalente, se concluye fácilmente que |Z_eq| = 10 ohmios. Por otro lado, se sabe que el módulo de una impedancia viene dado por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria. Así:

Sustituyendo X por el valor encontrado en la ecuación anterior y desarrollando, encontramos una ecuación de segundo grado que depende solo de R. Vea la ecuación a continuación:

Al resolver esta ecuación, se determinan dos valores: R = - 2 ohms, este valor se descarta, porque físicamente es imposible tener resistencias (elemento pasivo) de valor negativo; y R = 4 ohmios. Por lo tanto, el valor de R es:

Como la relación entre X y R ya se conoce, el valor de X se calcula fácilmente, o:

Por el valor negativo de X se define perfectamente que esta reactancia se debe a un condensador. Para encontrar la capacitancia de este capacitor, use la siguiente relación: