Problema + Difícil 3.1   Fonte:   Problema 6.24 - página 216 -    SADIKU, Matthew N. O. , ALEXANDER, Charles K. -   Livro: Fundamentos de Circuitos Elétricos - McGraw Hill - 5ª edição - 2013

Sabendo que C₁ = 30 µF ,  C₂ = 60 µF ,  C₃ = 14 µF ,  C₄ = 20 µF , C₅ = 80 µF , e V = 90 volts

a) Calcule a capacitância total do circuito abaixo, entre os pontos a e b

b) Calcule a carga em cada capacitor

c) Calcule a tensão em cada capacitor

d) Calcule a energia acumulada em cada capacitor.

Solução do Problema + Difícil 3.1

Item a

Pelo circuito da figura acima, percebe-se que os capacitores C₄ e C₅ estão em série. Para calcular a capacitância equivalente de um circuito série de dois capacitores, usa-se a equação abaixo.

Substituindo-se pelos valores numéricos e efetuando o cálculo:

Repare na figura ao lado como ficou o circuito redesenhado. Também é fácil reconhecer que os capacitores de 14 e 16 µF estão em paralelo. Para se calcular a capacitância equivalente de um circuito paralelo, basta somar o valor de todos os capacitores que compõem o circuito.

Neste caso, somando 14 e 16 µF resulta um valor de C_eq2 = 30 µF

A figura ao lado mostra como C_eq2 fica em série com o capacitor de 60 µF. Então, basta aplicar a equação mencionada acima para calcular o valor equivalente da associação. Após o cálculo resulta o valor de 20 µF.

Substituindo estes dois capacitores por um único de 20 µF, falta fazer o paralelo deste capacitor com o de 30 µF. Finalmente, ao somar seus valores, encontra-se o valor da capacitância total entre os  pontos a - b, ou:

Item b

  Repare que C₁ está em paralelo com a fonte de tensão. Logo, é fácil calcular sua carga, pois sabemos que:

Então, fazendo a substituição pelos valores numéricos:

Para se calcular a carga em C₂, deve-se olhar para a última figura e notar que C₂ está em série com o capacitor resultante da associação entre C₃, C₄ e C₅, ou C_eq2. Por outro lado, sabe-se que em uma associação série, a carga em cada capacitor que compõem o circuito é a mesma. Acrescente-se que o reultado dessa série é 20 µF, já calculado anteriormente. Portanto, é possível calcular a carga dessa capacitância equivalente, e vamos denominar por q₂₀, usando a última equação acima, ou:

Então, essa carga de 1,8 x 10^-3 C tem que estar presente no capacitor de 60 µF e em C_eq2 = 30 µF, como não poderia deixar de ser.

Porém, perceba que o capacitor de 30 µF é o paralelo de C₃ e C_eq1, onde este é a capacitância equivalente da série de C₄ e C₅, visto anteriormente. Logo, baseado na figura ao lado, podemos calcular a carga em C₃ usando uma proporção, pois a tensão sobre os dois capacitores é a mesma, já que estão em paralelo.

Se em 30 µF temos uma carga de 1,8 x 10^-3 C, então em 14 µF teremos:

Substituindo-se pelos valores numéricos e efetuando o cálculo:

É evidente que no capacitor de 16 µF, ou seja, em C_eq1, a carga será a diferença entre a carga de 1,8 x 10^-3C e a carga em C₃ (q₃, valor calculado acima). Logo:

De posse desse dado, e lembrando que 16 µF é o valor da capacitância equivalente da associação série de C₄ e C₅, ou C_eq1, conclui-se que esta carga de 0,96 x 10^-3 C é a carga presente tanto em C₄, como em C₅.

Agora, podemos fazer um resumo dos valores calculados. Veja abaixo.

Item c

Neste item, vamos calcular as tensões a que estão submetidos os capacitores que compõem o circuito. Como C₁ está em paralelo com a fonte de tensão de 90 volts, é claro que a tensão sobre ele também é de 90 volts. Vamos relembrar a equação que relaciona capacitância, tensão e carga. Veja abaixo:

Desta forma, olhando para a figura ao lado, sabemos que C_eq2 e C₂ estão em série. Para calcularmos a tensão sobre cada capacitor de um circuito série, basta sabermos que a tensão é inversamente proporcional ao valor da capacitância, já que a carga dos capacitores é a mesma.

Assim, podemos escrever:

Da mesma forma podemos fazer para C_eq2, ou:

Como podemos ver na figura ao lado, a tensão V_Ceq2, tensão sobre C_eq2, é a mesma sobre C_eq1 e C₃, já que C_eq2 é a capacitância equivalente da associação paralelo de C_eq1 e C₃. Portanto:

Por outro lado, sabemos que C_eq1 é a capacitância equivalente da série entre os capacitores C₄ e C₅. Logo, aplicando a mesma técnica que utilizamos para calcular a tensão sobre os capacitores C_eq2 e C₂, encontramos os valores de:

Com isso, e obedecendo a notação da figura inicial, podemos escrever que:

Item d

Para calcularmos o item d, vamos relembrar a equação que relaciona a energia de um capacitor em função da tensão sobre o capacitor e sua capacitância.

Portanto, para calcularmos a energia acumulada em cada capacitor, basta aplicarmos a fórmula. Então:

Adendo

Repare que se somarmos a energia acumulada por cada capacitor, encontraremos a energia total do sistema. Somando, encontramos:

Por outro lado, calculamos no item a a capacitância total do sistema, cujo valor é 50 µF, e sabemos que a tensão sobre essa capacitância é de 90 volts. Vamos, agora, calcular qual a energia acumulada pela capacitância total.

Como não poderia deixar de ser, prevaleceu a lei da Conservação da Energia.