Problema 24-9    Fuente:    Pregunta 31 - Lista de Circuitos Eléctricos II - Universidad del Algarve - Instituto Superior de Ingeniería - Jorge Semião - 2009.

El interruptor en el circuito que se muestra en la Figura 24-09.1 ha estado abierto durante mucho tiempo. En t = 0 está cerrado. Calcule i_L (t) para t ≥ 0.

Solución del Problema 24-9

Como el planteamiento del problema dice que el interruptor permaneció abierto durante mucho tiempo, podemos ver fácilmente que el inductor se comporta como un cortocircuito. En este caso, podemos determinar la corriente que fluye a través de él en t = 0^-. Al observar la Figura 24-09.1, vemos que i_L (0^-) = 9 / 3 kΩ = 3 mA. Cuando el interruptor está cerrado, sabemos que la corriente en el inductor no puede cambiar repentinamente, por lo que podemos decir que i_L (0⁺) = 3 mA. Esta es la condición inicial del circuito. Para facilitar la solución del problema, realizaremos una transformación de fuente en la fuente de voltaje y la resistencia R₂. De esta forma obtendremos el circuito que se muestra en Figura 24-09.2.

Tenga en cuenta que tenemos dos fuentes de corriente en paralelo. Luego podemos sumar sus valores, lo que da como resultado una fuente de corriente de 9 mA. Y las dos resistencias también están en paralelo resultando en R_P = R₁ . R₂ / R₁ + R₂ = 2 kΩ.

Vea el circuito final en la Figura 24-09.3. Ahora podemos determinar los parámetros del circuito.

Facilmente concluímos que:

Ahora calculemos el valor de α; de un circuito RLC en paralelo. Usando eq. 24-05, tenemos:

Tenga en cuenta que en este caso, α > ω_o, confirmando una respuesta sobreamortiguada. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son reales y la ecuación solución tendrá la forma de eq. 24-04. Adaptándonos a este caso, podemos escribir:

Los valores de r₁ y r₂ están dados por las ecuaciones eq. 24-07 y eq. 24-08.

Entonces la respuesta del sistema a i_L (t) estará dada por:

Observando el circuito mostrado en la Figura 24-09.3, determinamos fácilmente que i_L (∞) = 9 mA, porque en este tiempo el inductor se comportará como un cortocircuito y la corriente de la fuente de corriente pasará completamente a través de él. Y ya hemos determinado que i_L (0⁺) = 3 mA. Entonces, sustituyendo estos valores en la ecuación anterior y considerando t = 0, obtenemos:

Resolviendo esta ecuación obtenemos una primera relación entre A₁ y A₂, o:

Para encontrar la solución necesitamos una segunda relación entre A₁ y A₂. Sabemos que para un inductor tenemos:

Del circuito deducimos que V_L (0⁺) = 0. Así, sustituyendo este valor en la ecuación anterior y haciendo t = 0, obtenemos:

Realizando el cálculo encontramos la segunda relación, o:

Sustituyendo el valor de A₁ arriba en la primera relación, encontramos los valores de A₁ y A₂.

Por tanto, la ecuación que gobierna la corriente en el inductor viene dada por: