Problema 24-8    Fuente:   Adaptado de la Pregunta 1 de la Prueba de Circuitos Eléctricos PUCRS II - 2019.

Determine el valor de i_L (t) para t > 0 sabiendo que el circuito está en estado estable cuando el interruptor está en la posición que se muestra en la Figura 24-08.1 para t < 0.

Solución del Problema 24-8

Tenga en cuenta que para t < 0 tenemos el circuito que se muestra en la Figura 24-08.2, donde reemplazamos el inductor con un cortocircuito. Con la fuente de corriente y la resistencia. R₁ realizamos una transformación de fuente obteniendo una fuente de voltaje de 11 voltios en serie con R₁ . Así, podemos sumar los valores de R₁ y R₂, obteniendo el valor de R = 3 kΩ. Debido a que el inductor se comporta como un cortocircuito, obtenemos fácilmente el valor del voltaje a través del capacitor, es decir, v_c (0⁺) = 4 V. Siguiendo la indicación de las corrientes según el circuito, obtenemos i (0⁺) = - (11 - 4) / 3 k = - 7/3 mA. Y i_L (0⁺) = (11 - 4) / 3 k = 7/3 mA, ya que no fluye corriente eléctrica por el condensador. Estas son las condiciones iniciales del problema.

Para t > 0 la clave está en condición cerrada. Como resultado, la fuente de corriente y la resistencia R₁ se eliminan del circuito y la resistencia R₂ se coloca en paralelo con el capacitor, como se muestra en la Figura 24-08.3.

Así, tenemos un circuito RLC en paralelo que es perfectamente posible resolver aplicando la teoría ya estudiada. Luego, con los valores que nos proporciona el problema, podemos calcular la frecuencia de funcionamiento del circuito utilizando eq. 24 - 06, encontramos:

Concluimos fácilmente que:

Ahora calculemos el valor de α; de un circuito RLC en paralelo. Usando eq. 24-05, tenemos:

Tenga en cuenta que en este caso, α < ω_o, confirmando una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son complejas y la ecuación La solución tendrá la forma de eq. 24-14 y eq. 24-15.

Ahora necesitamos calcular el valor de ω_d, que viene dado por eq. 24-13. Entonces:

Entonces la respuesta del sistema a i_L (t) estará dada por:

De los circuitos que se muestran en las figuras anteriores, tenemos que i_L (0⁺ ) = 7/3 mA y i_L (∞ ) = - 2 mA. Por lo tanto, para t = 0⁺ encontremos la siguiente ecuación.

Como sabemos, sen 0 = 0, cos 0 = 1 y e⁰ = 1. Entonces, la ecuación se reduce a:

Realizando el cálculo encontramos el valor de B₁, o:

Y para calcular el valor de B₂, usaremos la condición inicial v_L (0⁺ ) = 0. Dado que v_L está relacionado con la primera derivada de i_L, entonces derivar i _L encontramos la relación a continuación:

Por tanto, realizando sustitución numérica, encontramos:

Resolviendo esta ecuación, encontramos el valor de B₂, o:

Y ahora podemos escribir la ecuación solución para la corriente en el inductor, o:

Recuerda que el valor de esta corriente está en miliamperios.