Problema 24-10    Fuente:    Problema 8.14 - página 329 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Libro: Circuitos Eléctricos - Editorial Pearson Education do Brasil - 10ª edición - 2016.

El interruptor en el circuito que se muestra en la Figura 24-10.1 ha estado en la posición a durante mucho tiempo. En t = 0 se mueve instantáneamente a la posición b. Determine V_o (t) para t ≥ 0.

Solución del Problema 24-10

Inicialmente, encontraremos el valor de resistencia equivalente en el circuito resaltado por el rectángulo discontinuo representado en la Figura 24-10.1. Para ello debemos calcular la resistencia de Thévenin, como se aprende en el capítulo 2. Por lo tanto, aplicaremos una fuente de voltaje de 20 V a este circuito. Sigue el circuito en Figura 24-10.2. Tenga en cuenta que si a través de la resistencia de 60 Ω circula i₁ luego por la resistencia 150 Ω circula 60 i₁/ 150 = 0,4 i₁. Por lo tanto, la corriente total I_T que circula por el circuito es I_T = - 1,4 i₁. Y determinamos fácilmente el valor de i₁ haciendo un bucle con la fuente dependiente y la resistencia 60 Ω.

Resolviendo esta ecuación encontramos:

Conociendo el valor de i₁ podemos calcular el valor de I_T, o

Y ahora podemos calcular el valor de la resistencia de Thévenin, porque:

Ahora calculemos el valor de α de un circuito RLC en paralelo. Usando eq. 24-05, tenemos:

Y el valor de ω_o, usando eq. 24-06 es:

Realizando el cálculo tenemos:

Tenga en cuenta que en este caso, α < ω_o, confirmando una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son complejas y la ecuación solución tendrá la forma de eq. 24-14 se muestra a continuación para mayor claridad.

Necesitamos encontrar el valor de ω_d. Usando eq. 24-13, tenemos:

Entonces la respuesta del sistema a V_o (t) estará dada por:

Al observar el circuito que se muestra en la Figura 24-10.1, determinamos fácilmente que V_o (∞) = 0, ya que en este tiempo el inductor se comportará como un corto circuito. Ahora es necesario encontrar los valores de B₁ y B₂. Determinemos cuál es el voltaje en el capacitor cuando el interruptor está en la posición a, es decir, V_C (0⁺) . Usando un divisor de voltaje resistivo encontramos

Y como estudiamos en la parte teórica, sabemos que:

Y para encontrar el valor de B₂ es necesario conocer el valor de la corriente en el capacitor en el instante (0⁺). Sabemos que cuando aplicamos un voltaje como salto en un inductor, la corriente que fluye a través de él es cero. Por lo tanto, la corriente que fluirá a través del capacitor es la corriente que fluirá a través de la resistencia de Thévenin. Então:

Tenga en cuenta el signo negativo en i_C (0⁺), ya que la corriente sale del terminal positivo del condensador. Y para determinar el valor de B₂ utilizamos la relación estudiada en la parte teórica y reproducida a continuación.

Realizando sustitución numérica y realizando el cálculo encontramos el valor de B₂, o:

Entonces la respuesta completa se puede escribir como: