Problema 24-7    Fuente:   Adaptado de la pregunta 1 de la Prueba de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

a) Determine el valor de i_L (t) para t > 0 sabiendo que el circuito está en estado estable cuando el interruptor está en la posición que se muestra en Figura 24-07.1 para t < 0 .

b) Grafique la respuesta del sistema.

Solución del Problema 24-7

Item a

Tenga en cuenta que para t < 0 tenemos dos circuitos independientes en estado estacionario. De esta forma, podemos calcular v_c (0⁺) = - 5 V y i_L (0⁺) = 20/50 = 0,4 A. También podemos calcular el valor de i_R (0⁺) = (20 + 5)/50 = 0,5 A y, aplicando LKC al nodo a, podemos determinar el valor de i_c (0⁺) = 0,5 - 0,4 = 0,1 A. Estas son las condiciones iniciales del problema.

Observe que en la Figura 24-07.2, tenemos un circuito RLC paralelo perfectamente posible a resolver aplicando la teoría ya estudiada. Luego, con los valores proporcionados por el problema podemos calcular la frecuencia de operación del circuito utilizando eq. 24 - 06 y encontramos:

Facilmente concluímos que:

Ahora calculemos el valor α de un circuito paralelo RLC. Usando la ecuación. 24-05, tenemos:

Tenga en cuenta que en este caso, α < ω_o, confirmando una respuesta subamortiguado. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son complejas y la ecuación para i_L (t) tendrá la forma de eq. 24-14 más i_f = 0,4 A.

Ahora necesitamos calcular el valor de ω_d, que viene dado por ecuación 24-13. Después:

Entonces la respuesta del sistema es:

En este punto es necesario encontrar los valores de B₁ y B₂. Para ello, utilizaremos las condiciones iniciales del problema. Entonces, como sabemos que i_L (0⁺) = 0,4 A y t = 0, sustituyendo en la ecuación anterior encontramos eso:

Y para calcular el valor de B₂, usemos la condición inicial v_L (0⁺) = v_c (0⁺) = - 5 V . Cómo v_L está relacionado con la primera derivada de i_L, por lo que derivando i_L encontramos la siguiente relación:

Entonces, haciendo la sustitución numérica, encontramos:

Resolviendo esta ecuación, encontramos el valor de B₂, o:

Y ahora podemos escribir la ecuación solución del sistema, o:

Item b

Tenga en cuenta que, en la Figura 24-07.3, el gráfico muestra una amortiguación muy pequeña debido al valor pequeño α. Esto muestra un sistema muy inestable. Note que al variar el valor de α podemos controlar las oscilaciones en la respuesta del circuito. Este pequeño valor α está asociado con el gran valor de R. Tenga en cuenta que cuando t → ∞ el valor final de la corriente en el inductor tiende a 0,4 A, como se muestra en la solución del problema. Compare este resultado con el que se muestra en problema 25-5. Cabe señalar que circuitos similares a este fueron ampliamente utilizados en la producción de sonidos de instrumentos musicales de forma analógica.