Problema 24-6 Fuente:
Pregunta 3 - 3ª Prueba de Circuitos Elétricos I - Ufrgs - 2018.
En el circuito que se muestra en la Figura 24-06.1, el interruptor ha estado en la posición cerrada durante mucho tiempo.
En t = 0 se abre el interruptor.
Determine iL(t) para t ≥ 0.
Figura 24-06.1
Solución del Problema 24-6
Primero, encontremos la corriente que fluye a través del inductor cuando el interruptor
está cerrado. Como el inductor se comporta como un cortocircuito, es evidente que toda la corriente
de la fuente fluirá a través del inductor. Entonces, iL(0-) = 12 A.
Determinemos ahora el valor de la corriente en el inductor cuando el interruptor está abierto durante mucho tiempo,
es decir, calculemos el valor final de la corriente en el inductor, o iL(∞).
Como el inductor se comporta como un cortocircuito, podemos aplicar un divisor de corriente,
porque en este caso la resistencia de 3 Ω está insertada en el circuito.
Entonces, obtenemos:
iL(∞) = 12 x 1 / (1 + 3 ) = 3 A
Estas son las condiciones iniciales del problema. Por otro lado, nos enfrentamos
de un circuito RLC paralelo. Entonces, calculemos el
factor de amortiguamiento, α, es decir:
α = 1 / ( 2 R C ) = 1 rad/s
Observe que el valor de R es la suma de los valores de las dos resistencias,
o R = 4 Ω.
Determinemos el valor de
ωo, o
ωo = 1 / √ (L C ) = 1 rad/s
Claramente tenemos α = ωo lo que caracteriza a un circuito que tiene
una respuesta críticamente amortiguada. Entonces la respuesta del circuito completo será de la
forma:
iL (t ) = A e r t + B t e r t + i( ∞ )
Tenga en cuenta que las raíces de la ecuación característica son iguales a r y están dadas por
r = - α = - 1. De esta forma, tenemos la ecuación:
iL (t ) = A e-t + B t e-t + 3
Ahora apliquemos las condiciones iniciales a esta ecuación. Sabemos que
iL(0-) = iL(0+) = 12 A,
porque como estudiamos, el inductor no acepta cambios bruscos de corriente. Y haciendo
t = 0, obtenemos:
12 = A + 3 ⇒ A = 9
Para calcular el valor de B, debemos encontrar la expresión para:
vL (t ) = L di/dt
Sabemos que vL (0 ) = 0 porque el inductor es un cortocircuito. Entonces, tenemos que:
vL (t ) = L [-A e-t + B (-t e-t + e-t )]
Donde la expresión entre corchetes es la derivada de la corriente en el inductor con respecto al tiempo.
Entonces, haciendo t = 0, obtenemos:
0 = 8 [-9 e-0 + B (-0 e-0 + e-0 )]
Resolviendo esta expresión, obtenemos:
B = 9
Entonces la expresión general para el circuito está dada por:
