Problema 24-5    Fuente:   Adaptado de la pregunta 1 de la Prueba de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

a) Determinar el valor de v_c (t) para t > 0 sabiendo que el circuito está en estado estable cuando el interruptor está en la posición que se muestra en Figura 24-05.1 para t < 0 .

b) Grafique la respuesta del sistema. Haciendo R = 5 Ω, vuelve a hacer el graficar y comparar con el anterior.

Solución del Problema 24-5

Item a

Tenga en cuenta que para t < 0 tenemos dos circuitos independientes en estado estacionario. De esta manera, podemos calcular v_c (0⁺) = 5 V y i_L (0⁺) = 20/10 = 2 A. También podemos calcular el valor de i_R (0⁺) = (20 - 5)/10 = 1,5 A y,aplicando LKC al nodo a, podemos determinar el valor de i_c (0⁺) = 1,5 - 2 = - 0,5 A. Estas son las condiciones iniciales del problema.

Observe que en la Figura 24-05.2, tenemos un circuito RLC paralelo perfectamente posible a resolver aplicando la teoría ya estudiada. Luego, con los valores proporcionados por el problema podemos calcular la frecuencia de operación del circuito utilizando eq. 24 - 06 y encontramos:

Fácilmente podemos concluir que:

Ahora calculemos el valor α de un circuito paralelo RLC. Utilizando el ecuación 24-05, tenemos:

Tenga en cuenta que en este caso, α < ω_o, confirmando una respuesta subamortiguado. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son complejas y la ecuación para v_c (t) tendrá la forma de eq. 24-14 más v_f = 0. Para mayor claridad, a continuación, repetimos la ecuación.

Ahora necesitamos calcular el valor de ω_d, que viene dado por eq. 24-13. Después:

Entonces la respuesta del sistema es:

En este punto es necesario encontrar los valores de B₁ y B₂. Para ello, utilizaremos las condiciones iniciales del problema. Entonces, como sabemos que v_c (0⁺) = 5 V y t = 0, sustituyendo en la ecuación anterior encontramos qué:

Y para calcular el valor de B₂, usemos la condición inicial i_c (0⁺) = 1,5 - 2 = - 0,5 A. Cómo se relaciona i_c con la primera derivada de v_c, luego diferenciando v_c encontramos la siguiente relación:

Entonces, haciendo la sustitución numérica, encontramos:

Resolviendo esta ecuación, encontramos el valor de B₂, o :

Y ahora podemos excretar la ecuación solución del sistema, o:

Item b

Nota que en la Figura 24-05.3 el gráfico en azul representa la respuesta al problema resuelto en el punto a. Cuando hacemos R = 5 Ω, la respuesta del sistema se representa por la curva en rojo. En este caso, tenemos α = 2 rad/s. Dado que α representa el factor de amortiguamiento del circuito, observe que la respuesta tiende al estado estacionario más rápidamente. Entonces, cuando disminuimos el valor de R, aumentamos el valor de α, haciendo el circuito más estable, es decir, menos oscilante. Hay un valor de R donde el circuito ya no está subamortiguado y se vuelve críticamente amortiguado . Este hecho ocurre cuando R = √10. ¡¡¡Verificar!!!