Problema 24-4    Fuente:   Adaptado de la Pregunta 3 de la Prueba de circuito eléctrico II PUCRS - 2019.

a) Determinar el valor de R_x para que el circuito mostrado en la Figura 24-04.1 tiene una respuesta subamortiguado con frecuencia de oscilación ω_d = 0,5 rad/s

b) Después de determinar el valor de R_x, determine i_L cuando t → ∞.

Solución del Problema 24-4

Item a

Para resolver este problema, primero encontremos el equivalente Thévenin del circuito compuesto pela fuente y las dos resistencias R_x. Podemos ver el resultado en la Figura 24-04.2.

Observe que ahora tenemos un circuito paralelo RLC que puede resolverse perfectamente aplicando la teoría ya estudiada. Luego, con los valores proporcionados por el problema, podemos calcular la frecuencia de operación del circuito utilizando la eq. 24-06, y encontramos:

Fácilmente concluimos que:

Sin embargo, sabemos que existe una relación entre ω_o, ω_d y α dado por eq. 24-13 . Cómo sabemos los valores de ω_o y ω_d, el valor de α será:

Realizando el cálculo, encontramos el valor de α, o:

Nota que en este caso, α < ω_o, confirmando una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son complejas y la ecuación para i_L(t) tendrá la forma de eq. 24-14 acrecida de I_f. Por otro lado, con el valor de α podemos calcular el valor de R_x usando eq. 24-05. Sin embargo, debemos ser conscientes de que el valor que debemos usar es R_x / 2 en la eq. 24-05. Así:

Realizando el cálculo, encontramos:

Item b

Cuando la fuente de voltaje comienza a funcionar a t = 0 , el inductor se comportará como un circuito abierto. Por lo tanto, concluimos que i_L (0) = 0  A. Por otro lado, cuando t → ∞ el inductor se comporta como un cortocircuito. En este caso, debemos mirar el circuito original para calcular i_L (∞). Nota que entre el inductor y la fuente solo tenemos la resistencia R_x, luego: