Problema 24-3    Fuente:   Problema 8-49 - página 324 - Libro: Fundamentos de Circuitos Elétricos - ALEXANDER, Charles K. & SADIKU, Matthew N. - Ed. McGraw Hill - 5ª edição - 2013.

Determine i(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la Figura 24-03.1, sabiendo que el interruptor S ha estado cerrado durante mucho tiempo.

Solución del Problema 24-3

Para resolver este problema usaremos eq. 24-14. Vea abajo:

Tenga en cuenta que la primera parte de la ecuación es la corriente que fluye a través del inductor después de que el interruptor S ha estado abierto durante mucho tiempo. Es fácil ver que toda la corriente de fuente 3 A circulará por el inductor. Por lo tanto, concluimos que I_f = 3 A.

Observe que con la apertura del interruptor S, tenemos un circuito paralelo RLC . Entonces puede determinar el valor de α, o:

El valor de ω_o² será:

Extrayendo la raíz cuadrada:

Observe que en este caso, α = ω_o, es decir, las dos raíces de la ecuación característica son iguales y por lo tanto el circuito tiene una respuesta del tipo críticamente amortiguado. Por lo tanto, la ecuación para i(t) tendrá la forma de eq. 24-09 acrecida de I_f, o:

Como ya se sabe el valor de I_f, debemos encontrar el valor de i (0^-) en el inductor. Esto se puede hacer transformando la fuente 12 V en serie con la resistencia 4 Ω, en una fuente de corriente 3A (= 12/4) en paralelo con el resistor de 4 Ω. Entonces habrá dos fuentes de corriente de 3 A cada uno en paralelo. Esto da como resultado una única fuente de corriente de 6 A. Como antes de t = 0 el circuito estaba encendido, se sabe que el inductor se comporta como un cortocircuito. Por lo tanto, se concluye que i (0^-) = 6 A. Como la corriente eléctrica en el inductor no puede variar abruptamente en valor, entonces i (0⁺) = 6 A. Sustituyendo t por cero en la ecuación anterior y usando los valores calculados obtenemos:

Por lo tanto, calculamos fácilmente el valor de B₁, o:

Para encontrar la ecuación de la solución, es necesario calcular el valor de B₂. Para hacerlo, se debe usar la segunda condición límite dada por la derivada de la función i(t), esto cuando t = 0. Para encontrar la derivada de la corriente en el inductor en relación con el tiempo, debemos seguir la siguiente línea de razonamiento:

"Sabemos los valores de i(0^-) y i(0⁺), puntos estos que difieren de Δt entre sí. Por el concepto de derivada, debemos hacer Δt → 0. Entonces, la tangente del ángulo de la línea con el eje t que conecta estos dos puntos representa la derivada. Ahora como i(0^-) = i(0⁺), entonces la línea que conecta estos dos puntos es paralela al eje t. Por lo tanto, el valor del ángulo es cero. Y la tangente de cero es cero. Se concluye que la derivada de la función i(t) cuando t = 0 es cero."

Ahora que conocemos el valor numérico de la derivada de i(t), es necesario encontrar la derivada analítica de la función i(t). Por simplicidad de notación, representaremos la derivada de i(t) por i'(t). Así:

En la ecuación anterior, reemplazando t con cero y sabiendo que i'(0) = 0 y B₁ = 3 , encontramos la siguiente relación:

Ahora tenemos todos los valores necesarios para escribir la ecuación de solución del sistema. Basado en eq. 24-3a (arriba) y después de un arreglo algebraico, llegamos a:

Observe que cuando t = 0, obtenemos i(0) = 6 A y cuando t → ∞, obtenemos i(∞) = 3 A, exactamente los valores calculados al comienzo del problema. La Figura 24-03.2 ilustra la respuesta del sistema a la corriente del inductor.