Problema + Difícil 15-2    Fuente:    Problema 38 - Lista de problemas Circuitos Eléctricos I de la Facultad de Ingeniería - UFRGS - 2011 - Prof. doctor Valner Brusamarello.

En el circuito de la Figura 15-02.1, cuando el interruptor "S" está en la posición 1, E₁ = - 5 V y E₂ = 5 V. En esta condición el voltímetro indica 0 V. Determine el valor de la constante K, así como el valor indicado por el voltímetro cuando el interruptor S está en la posición 2 y E₁ = E₂ = 5 V.

Solución del Problema + Difícil 15-2   -    Método Thévenin

Clave en la posición 1

Para comenzar el análisis del circuito, considere que el interruptor S está en el posición 1. De esta forma se incluye en el circuito la fuente de tensión de 8 V en serie con la resistencia de 2 Ω que, a su vez, está en paralelo con el voltímetro. Nunca olvides que un voltímetro ideal tiene una resistencia infinita, no fluye corriente eléctrica a través de él.

Mirando de cerca el circuito, hay condiciones para realizar varias simplificaciones. Una de ellas es sumar en serie las dos resistencias que se encuentran al lado de la fuente de corriente K, dando como resultado un valor de resistencia igual a 6 Ω. Esta resistencia, a su vez, está en paralelo con la otra resistencia de 3 Ω que también está en paralelo con la fuente actual K. Calculando este paralelo (de 3 Ω y 6 Ω) se obtiene un único valor de resistencia igual a 2 Ω. Otra posible simplificación es calcular el paralelo de las resistencias de 3 Ω y 6 Ω (en la parte inferior del circuito), donde dará como resultado una resistencia más igual a 2 Ω. Por último, también es posible calcular el paralelo de las dos resistencias de 20 Ω, resultando una de 10 Ω. En la Figura 15-02.2, puedes ver el circuito con todas las simplificaciones. mencionado anteriormente.

En esta nueva configuración podemos realizar dos transformaciones más: una es añadir el dos resistencias de 10 Ω que están en serie, lo que resulta en una sola resistencia de 20 Ω; otra es transformar la fuente de corriente K, que es en paralelo con una resistencia de 2 Ω, a través de una fuente de tensión en serie con esta resistencia. De esta forma se pueden sumar las dos resistencias de 2 Ω y, como resultado se obtiene una única resistencia de valor igual a 4 Ω. Y por último, agregue las dos fuentes de voltaje, que ahora están en serie, lo que resulta en una sola fuente de tensión de valor 3 K. Vea en la Figura 15-02.3 cómo el circuito con estas transformaciones realizadas.

Ver en el circuito que indicamos las corrientes en algunos puntos del circuito. Este con base en la información dada en el enunciado del problema que establece que cuando el interruptor S está en posición 1, el voltímetro indica cero voltios. Por tanto, en la fuente de 8 V debe circular una corriente de 4 A, en la dirección indicada en el circuito. Esto se debe al hecho de que necesitamos tener una gota voltaje de 8 V, con polaridad opuesta a la fuente, en la resistencia de 2 Ω que está en serie con él. El mismo razonamiento puede ser aplicada a la fuente de tensión de 5 V en serie con la resistencia de 5 ohmios. En este caso tenemos una corriente de 1 A. Pronto, a la izquierda 3 A para circular por la otra fuente de tensión de 5 V, ubicado en la parte superior del circuito. Sin embargo, observe que podemos realizar una transformación más con la resistencia (a partir de 4 Ω) que está en serie con la fuente de tensión 3 K. Por lo tanto, la fuente de corriente resultante (= 3K/4) puede transformarse, nuevamente, en una fuente de tensión en serie con la resistencia (10/3) que resultado del paralelo entre las resistencias de 4 Ω y 20 Ω. Presentamos, en Figura 15-02.4, el circuito con todas estas transformaciones.

Ahora, con este circuito y los valores encontrados podemos calcular el valor de K. Observe que entre el punto X y tierra, tenemos un voltaje de cero voltios y por la rama derecha fluye una corriente de 3 A, como indica la flecha verde. Entonces, haciendo la ecuación de malla (para el voltaje) en esta rama, comenzando desde el punto X en la dirección de la flecha verde, encontramos:

Resolviendo esta ecuación, encontramos para el valor de K:

Clave en la posición 2

Con esta información en la mano, podemos quitar la fuente de 8 V del circuito en serie con la resistencia de 2 Ω, ya que no están incluidos en el circuito cuando movemos la tecla S a la posición 2. Entonces, se puede calcular el Equivalente de Thévenin del circuito a la derecha del voltímetro. Para esto, solo necesitamos calcular la resistencia de Thévenin y la Voltaje de Thévenin. Vamos a referirnos al circuito que aparece en la Figura 15-02.5.

Para calcular la resistencia de Thévenin simplemente corte el circuito fuentes de voltaje Haciendo esto, nos quedamos con dos resistencias en paralelo (la de 5 Ω y la de 10/3 Ω). Entonces el valor es:

Ahora encontremos el valor de I haciendo la ecuación de malla para el voltaje (Kirchhoff) en el sentido indicado por la flecha roja, comenzando desde el punto del suelo en la figura anterior.

Resolviendo esta ecuación, se encuentra el valor de I, o:

Con estos valores en la mano se puede calcular el valor de V_th escribiendo el ecuación de voltaje solo para la fuente de 5 V y la resistencia de 5 Ω que están en serie. Assim:

Resolviendo la ecuación se encuentra el valor de V_th, o:

Bueno, ahora tenemos el equivalente de Thévenin. Sustituyendo en el circuito original, nos queda el circuito que se muestra en la siguiente figura, donde el equivalente de Thevenin está resaltado por el rectángulo rayado en azul. Tenga en cuenta que, para calcular el valor medido por el voltímetro, debemos calcular el valor de la corriente eléctrica i.

Al calcular el voltaje en el punto a podemos calcular la corriente que fluye por la resistencia de 1 Ω que conecta el punto a a tierra.

Por lo tanto, el voltaje es - V_a = 4 + 4. i. Es decir, el voltaje es negativo con respecto a la tierra. En este caso, la corriente fluye desde tierra hasta el punto a, como se muestra en la Figura 15-02.6. El valor de la corriente es lo mismo que V_a porque dividimos por 1, que es el valor de resistencia.

Calculemos la corriente que fluye a través de la otra resistencia de 1 Ω, que interconecta apunte a al polo negativo de la fuente de tensión de 4 V. Para esto simplemente haga la ecuación del nodo a, es decir:

Por lo tanto, la malla en la dirección indicada por la flecha marrón, que incluye las dos resistencias de 1 Ω y la fuente tensión de 4 V, podemos calcular fácilmente el valor de i.

Resolviendo esta ecuación podemos encontrar el valor de i, que es igual a:

Entonces, para encontrar el valor medido por el voltímetro, engranemos en la dirección indicado por la flecha roja en la figura anterior. En otras palabras, calculemos el voltaje de salida del equivalente de Thevenin (indicado por el rectángulo discontinua en azul) cuando pasa por él una corriente igual a 1/3 A. Por lo tanto, se concluye que el voltaje medido es: