Problema 22-5 Fuente:
Problema 7.30 - página 300 Libro: Análise de Circuitos em Engenharia - J. David Irwin - 4ª edição - Ed. Pearson - 2013.
En el circuito que se muestra en la Figura 22-5.1, el interruptor S permaneció abierto durante mucho tiempo. En t = 0 la llave S es cerrada. Determine la corriente i (t).
Solución del Problema 22-5
Tenga en cuenta que tenemos una asociación de condensadores en el circuito. Los dos inferiores son paralelos, totalizando una capacitancia de 400 µF. Esto a su vez está en serie con el otro que está conectado al punto a. Calculando la serie, encuentramos Ceq = (800 / 6 ) µF. Por otro lado, tenga en cuenta que esta capacitancia es paralela a la resistencia de 6 k & Omega; . Por lo tanto, es fácil ver que al calcular el voltaje en el condensador, VC (t), es posible calcular i(t) simplemente dividiendo este voltaje por el valor de resistencia,
es decir 6 kΩ.
Siguiendo este razonamiento, el voltaje en el condensador con el interruptor S abierto será el mismo que el voltaje en la resistencia 6 kΩ. Para calcular esta tensión, se puede emplear cualquier método estudiado. Usando el método de transformación de fuente, se descubre que es posible reducir a una sola fuente de corriente de 1 mA apuntando hacia arriba. Las dos resistencias de 2 kΩ y 3 kΩ, que después de la transformación fueron paralelas, una resistencia de valor igual a
6/5 kΩ. Con esto, a través de un divisor actual, es posible calcular i(0-) circulando a través de la resistencia de 6 kΩ , a saber:
Por lo tanto, usando la ley de Ohm es posible calcular el voltaje en la resistencia de
6 kΩ, que es exactamente igual al voltaje en el capacitor. Luego:
Cuando el interruptor S está cerrado, la resistencia de 2 kΩ se conecta en paralelo con el condensador y la resistencia de 6 kΩ. Ahora, como es bien sabido, un condensador no puede alterar abruptamente el voltaje en sus terminales. Entonces la condición inicial es:
Ahora es necesario calcular el voltaje en el condensador cuando
t → ∞ (condición final). Del circuito se observa que la resistencia de
2 kΩ permanece en paralelo con la resistencia de 6 kΩ. En este caso,
para calcular el voltaje en el condensador, simplemente sustituya la ecuación
eq. 22-05.1 el valor de 6 kΩ por el paralelo de las dos resistencias, es decir 1,5 kΩ. Tenga en cuenta que no hubo cambios en el valor fuente actual. Entonces
Con esta información, falta el valor de la constante de tiempo del circuito. Para esto, las fuentes de voltaje se anulan y se calcula la resistencia equivalente. Tenga en cuenta que todas las resistencias están conectadas en paralelo. Con eso, Req = 1,059 kΩ. Entonces la constante de tiempo τ del circuito es:
La eq. 22-03 le permite escribir el voltaje resultante sobre el condensador, o:
Como se indicó al comienzo de la solución del problema, para calcular i (t) solo usa el siguiente enlace:
Por lo tanto, la ecuación de solución para el problema es:
