Problema 22-4 Fuente:
Adaptado del ejercicio 7.12 - página 158 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Libro: Circuitos Elétricos - Ed. LTC - 5ª edição - 1999.
En el circuito que se muestra en la Figura 22-4.1, la llave S1 permaneció cerrada y la llave
S2 abierta, ambos durante mucho tiempo. En t = 0 la llave S1 es abierta.
La llave S2 se cierra 50 ms más tarde. Determinar:
a)vC(t) para 0 ≤ t ≤ 0,05 s
b)vC(t) para t ≥ 50 ms
Figura 22-4.1
Solución del Problema 22-4
Item a
De las condiciones de las llaves S1 y S2 reportado en el problema es posible determinar el voltaje del capacitor a t = 0 -. Usando el concepto de divisor de corriente podemos
calcular la corriente que fluye a través de la resistencia de 50 KΩ que está en paralelo con el condensador. A partir de esto, podemos calcular el voltaje en el condensador, que será el mismo voltaje en
esta resistencia. Entonces
i50 = 20(mA) 20(kΩ) / ( 20 + 30 + 50)(KΩ) = 4 mA
Entonces el voltaje en el condensador es:
VC(0-) = 50(kΩ) x 4 (mA) = 200 volts
Cuando se abre el interruptor S1, el voltaje del condensador no puede variar abruptamente, por lo que podemos afirmar que:
VC(0+) = VC(0-) = 200 volts
Además, el circuito se reduce al condensador en paralelo con la resistencia 50 kΩ. De esta manera, podemos calcular cuál es la constante de tiempo del circuito. Así:
τ = R C = 50 x 103 x 2 x 10-6 = 0,1 s
Con estos datos podemos escribir la ecuación de solución de circuito para el primer 50 ms. Es decir:
VC(t) = 200 e-10t, 0 ≤ t ≤ 50 ms
Item b
Deberíamos prestar atención cuando la tecla S2 se cierra a t = 50 ms . Tenga en cuenta que en este caso el condensador se ha descargado de t = 0 ms hasta t = 50 ms. Entonces, para encontrar el valor inicial del voltaje del capacitor, para esta nueva condición, debemos usar la ecuación encontrada en el ítem anterior y calcular su voltaje cuando t = 50 ms. Por lo tanto:
VC(0+) = 200 e-10 x 50(ms) = 121,31 volts
Por supuesto cuando t → ∞ el condensador tendrá voltaje cero,
o VC(∞) = 0 volts
No debemos olvidar que cuando se cierra el interruptor S2 , se pone el resistor de
200 kΩ en paralelo con la resistencia de 50 kΩ, qué
da como resultado una resistencia equivalente de 40 kΩ. Entonces podemos calcular el nuevo
constante de tiempo del nuevo circuito, o:
τ = R C = 40 x 103 x 2 x 10-6 = 0,08 s
Con estos datos y usando eq. 22-03 podemos escribir la ecuación de solución de circuito para
t ≥ 50 ms, o:
VC(t) = 121,31 e-12,5 (t- 0,05), t ≥ 50 ms
Note que en esta ecuación usamos el hecho de que -(t-0,05)/0,08 = -12,5(t-0,05).
