Problema 13-4 Fuente:
Pregunta 1 de la primera prueba 2012 - 1 - Escola de Engenharia - UFRGS.
En el circuito que se muestra en la Figura 13-04.1, calcule según las
leyes de Kirchhoff la voltaje Vo, la corriente ig y haga un balance de potencia del circuito.
Figura 13-04.1
Solución del Problema 13-4 -
Método Kirchhoff
Como el problema pide hacer un balance de potencia debemos calcular todas las corrientes del circuito. Colocaremos todas las corrientes según io. Al calcular el valor de io podremos calcular los demás
corrientes Inicialmente podemos escribir en los nodos a , b y c, las siguientes ecuaciones:
nó a ⇒ ig = i1 - io
nó b ⇒ i3 = i1 + i2
nó c ⇒ i2 = 0,75 - i4 - io
Comenzando con la fuente de voltaje de 50 voltios, pasando por io y i4, en el sentido de las agujas del reloj, puede escribir:
- 50 - 800 io + 200 i4 = 0
De la ecuación anterior, el valor de i 4 puede equipararse como una función de io, es decir:
i4 = 4 io + 0,25
Sustituyendo este valor en la ecuación del nodo c, obtenemos:
i2 = 0,5 - 5 io
Por tanto, ya tenemos dos variables en función de io. Ahora, haciendo el bucle superior
del circuito (uno que no tiene fuentes), puede escribir:
- 800 io + 40 i2 - 80 i1 = 0
Como sabemos la relación entre i2 y io, reemplazando en la ecuación anterior, encontramos la relación entre i1 y io. Así:
i1 = 0,25 - 12,5 io
Pero observe que conocemos la ecuación del nodo a, que relaciona el valor de i1 y
ig. Luego, haciendo la sustitución en la ecuación anterior, obtenemos:
ig = 0,25 - 13,5 io
Sin embargo, también tenemos la ecuación para el nodo b, que relaciona las corrientes i1,
i2 y i3. Luego, haciendo las sustituciones necesarias, obtenemos:
i3 = 0,75 - 17,5 io
En este momento conocemos todas las corrientes en el circuito en función de io. Entonces,
haciendo que la malla esté cerca de la fuente de voltaje, obtenemos:
80 i1 + 50 i3 = 50
Sustituyendo los valores encontrados para i1 y i3 en la ecuación anterior,
se puede calcular el valor de io.
80 (0,25 - 12,5 io ) + 50 (0,75 - 17,5 io ) = 50
Por tanto, al realizar el cálculo, el valor de io, o:
i0 = 0,004 A = 4 mA
Con este valor, puede calcular el valor de Vo y
ig por mera sustitución de valores. Entonces:
Vo = 800 i0 = 800 x 0,004 = 3,20 volts
ig = 0,25 - 13,5 x (0,004) = 0,196 A
Haciendo lo mismo para las otras corrientes, obtenemos:
i1 = 0,2 A
i2 = 0,48 A
i3 = 0,68 A
i4 = 0,266 A
Este problema podría resolverse mediante un sistema de ecuaciones. Los resultados deberían ser los mismos que se encuentran aquí. Ahora hagamos un balance de potencia en el circuito.
Balance de Potencia
Primero, calculemos las
potencias disipados en todas las resistencias, o:
P800 = 800 ( io )2 = 800 x 0,0042 = 0,0128 vatio
P80 = 80 ( i1 )2 = 80 x 0,22 = 3,2 vatios
P50 = 50 ( i3 )2 = 50 x 0,682 = 23,12 vatios
P40 = 40 ( i2 )2 = 40 x 0,482 = 9,216 vatios
P200 = 200 (i4)2 = 200 x 0,2662 = 14,1512 vatios
Ahora, sumando todos las potencias disipados en las resistencias se encontra el valor de:
P+ = 49,7 W
Tenga en cuenta que en la fuente de voltaje de 50 voltios , la corriente fluye a través del polo positivo,
es decir, está suministrando energía al circuito. Por tanto, su valor es negativo.
P50 = - 50 ig = - 50 x 0,196 = - 9,80 vatios
Debemos calcular cuál es la diferencia de potencial en la fuente de corriente. Se sabe que es la misma diferencia
de potencial sobre la resistencia de 200 ohmios, o:
Vfuente = 200 x 0,266 = 53,2 volts
Podemos ver que la voltaje en la fuente de corriente es positivo, y
esto significa que está suministrando energía al circuito. Por tanto, su valor es negativo.
Pfuente = - 0,75 x 53,2 = - 39,9 vatios
Ahora, podemos sumar algebraicamente las potencias proporcionadas por las fuentes. Así:
P - = - 9,8 - 39,9 = - 49,7 vatios
Finalmente, sabemos que la suma algebraica de las potencias proporcionadas y disipadas
en un circuito debe ser igual a CERO, es decir:
∑ P = P+ + P - = 49,7 - 49,7 = 0 vatio
Tenga en cuenta que el balance de potencia satisface el
Principio de conservación de energía.
