Problema 23-5    Fuente:   Ejercicio 7.13 - página 158 -    NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Libro: Circuitos Elétricos - Ed. LTC - 5ª edição - 1999.

En el circuito de la Figura 23-05.1, el interruptor S₁ permaneció abierto durante mucho tiempo, mientras que el interruptor S₂ permaneció cerrada durante mucho tiempo. El interruptor S₁ es cerrado cuando t = 0 y, después de permanecer cerrado durante 1 s, se vuelve a abrir. El interruptor S₂ se abre cuando t = 1 s . Determine expresiones para la corriente i en el inductor que sean válidas en los rangos:

a) 0 ≤ t ≤ 1.

b) t ≥ 1.

Advertencia: en la declaración del problema hay un error tipográfico en la letra b. Donde dice t ≤ 1 s sigue leyendo t ≥ 1 s.

Solución del Problema 23-5

Item a

Del enunciado del problema deducimos que antes de t = 0 no hay ninguna fuente que actúe en el circuito. Tan pronto como el interruptor S₁ cerra (en t = 0), no habrá flujo de corriente a través del inductor. Por lo tanto, concluimos que:

Conociendo el valor inicial de la corriente por el inductor, uno necesita saber su valor final y el constante de tiempo del circuito. Para esto, se debe encontrar el equivalente Thévenin del circuito. Tenga en cuenta que solo la fuente de voltaje está funcionando. Entonces el voltaje de circuito abierto (voltaje de Thévenin) será 6 voltios, que es el voltaje en la resistencia 3 ohmios. Para calcular la resistencia Thévenin, la fuente de voltaje debe estar en cortocircuito. Esto resulta en el paralelo de las resistencias de 2 y 3 ohms, dando como resultado una resistencia 1,2 ohm, que sumada a la resistencia 0,8 ohm totaliza una resistencia Thévenin igual a 2 ohmios. Por otro lado, el interruptor S₂ cerrada, pone las resistencias 3 y 6 ohm en paralelo, lo que da como resultado una resistencia 2 ohm en paralelo con el inductor. Esta situación se muestra en la Figura 23-05.2. Optamos por hacer el equivalente de Thévenin a la izquierda del interruptor S₁ para mayor claridad.

Desde el circuito anterior, es posible calcular la resistencia equivalente a la izquierda del inductor. Hay el paralelo de las resistencias de 2 ohmios resultando el valor de 1 Ω como resistencia equivalente. Entonces la constante de tiempo será:

Tenga en cuenta que para t → ∞ , el circuito se reduce al inductor y resistencia equivalente de Thévenin . Pronto concluimos que el valor de la corriente i cuando t → ∞ es igual a:

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación solicitada en el problema. Usando la eq. 23-03 obtenemos:

Item b

Para t ≥ 1 circuito completo a la izquierda del interruptor S₁ es eliminado. Por lo tanto, se debe encontrar el equivalente Thévenin para el circuito a la derecha del inductor. Al eliminar la fuente, se puede encontrar la resistencia de Thévenin. Por lo tanto, las resistencias de 6 y 9 ohmios que están en serie dan como resultado un valor de 15 ohmios. Esto, a su vez, está en paralelo con la resistencia 3 ohmios. Esto resulta R_th = 2,5 Ω. Para el cálculo del voltaje de Thévenin, debemos transforma la fuente de corriente en paralelo con la resistencia 9 ohmios en una fuente de voltaje igual a 72 voltios, que estará en serie con la resistencia 9 ohmios. Note que el polo positivo de la fuente de voltaje apunta hacia abajo. Por lo tanto, la voltaje Thévenin será el voltaje en la resistencia 3 ohmios. Después de realizar el cálculo, encontramos V_th = -12 V

Conociendo R_th, es posible calcular la constante de tiempo del circuito, o:

Debe calcular la corriente de inicio y finalización en el inductor. Para la corriente inicial, usamos la ecuación encontrado en item a y calcular la corriente para t = 1s.

Y para t → ∞, el inductor se comporta como un cortocircuito, entonces:

Usando la eq. 23-03 podemos escribir:

Realizando el cálculo, encontramos la expresión final:

Aquí usamos el hecho de que -(t-1)/0,8 = -1,25 (t-1).