1 INTRODUCCI
´
ON
Transformaci´on de Laplace
1 Introducci´on
En este trabajo, estamos interesados en calcular algunas transformaciones de
Laplace utilizando los m´etodos adecuados. Para hacerlo, definamos la transfor-
maci´on de Laplace como:
F (s) = L {f(t)} =
Z
∞
0
f(t) e
−st
dt
Ejemplo 1 - Calcular la transformada de Laplace de L {1}.
Soluci´on -
Tenemos que f (t) = 1, luego aplicando la definici´on tenemos:
F (s) = L {1} =
Z
∞
0
1. e
−st
dt = −
1
s
e
−st
∞
0
=
1
s
Por la simplicidad de la transformaci´on de Laplace de una constante, podemos
generalizar a cualquier constante, o:
F (s) = L {cte} =
cte
s
1
1 INTRODUCCI
´
ON
Ejemplo 2 - Calcular la transformada de Laplace de L {t}.
Soluci´on -
Tenemos que f (t) = t, luego aplicando la definici´on:
F (s) = L {t} =
Z
∞
0
t. e
−st
dt =
1
s
2
Para el caso de polinomios podemos generalizar con la siguiente ecuaci´on:
F (s) = L {t
n
} =
n!
s
n+1
Ejemplo 3 - Calcular la transformada de Laplace de L {e
at
}.
Soluci´on -
Tenemos que f (t) = e
at
, luego aplicando la definici´on tenemos:
F (s) = L {e
at
} =
Z
∞
0
e
at
e
−st
dt =
Z
∞
0
e
(a−s)t
dt =
1
a − s
e
(a−s)t
∞
0
Por lo tanto, concluimos que para la funci´on exponencial la transformaci´on
de Laplace viene dada por:
F (s) = L {e
at
} =
1
s − a
Ahora, recordando la f´ormula de Euler:
e
iθ
= cos θ + i senθ
Usando esta ecuaci´on como referencia, encontraremos la transformada de Laplace
para las funciones seno e coseno.
Ejemplo 4 - Calcular la transformada de Laplace de L {sen ωt} e L {cos ωt}.
Soluci´on -
Tenemos que f(t) = e
iωt
, luego aplicando el valor encontrado en el ejemplo 3,
tenemos:
F (s) = L {e
iωt
} =
1
s − iω
2
2 PROPIEDADES
Por la propiedad conocida de los n´umeros complejos, vamos a multiplicar
el numerador y el denominador de la fracci´on por el complejo conjugado del
denominador. Por lo tanto, nos quedamos con:
F (s) = L {e
iωt
} =
1
s − iω
s + iω
s + iω
=
s + iω
s
2
+ ω
2
Trabajando algebraicamente el resultado, podemos escribir:
F (s) = L {e
iωt
} =
s
s
2
+ ω
2
+
iω
s
2
+ ω
2
Ahora, comparando este resultado con la formula de Euler, visto anterior-
mente, concluimos que:
F (s) = L {sen ω t} =
s
s
2
+ ω
2
F (s) = L {cos ω t} =
ω
s
2
+ ω
2
2 Propiedades
Para continuar nuestros estudios, indicaremos algunas propiedades de las
transformadas de Laplace que facilitar´an el c´alculo de las transformadas.
2.1 Linealidad
La linealidad garantiza la siguiente igualdad:
F (s) = L {c.f(t)} = c. L {f (t)}
o, tambi´en
L {c
1
. f(t) + c
2
. g(t)} = c
1
. L {f (t)} + c
2
. L {g(t)} = c
1
. F (s) + c
2
. G(s)
Ejemplo 5 - Encontre L {3 sen 2 t + 4 e
3t
}
Soluci´on -
L {3 sen 2 t + 4 e
3t
} = 3 L {sen 2 t} + 4 L {e
3t
}
= 3
2
s
2
+ 4
+ 4
1
s − 3
=
4 s
2
+ 6 s − 2
(s
2
+ 4)(s − 3)
3
2 PROPIEDADES
2.2 Primera propiedad de translaci´on
Se L {f (t)} = F (s) ent˜ao
L {e
at
f(t)} = F (s − a)
Ejemplo 6 - Encontre L {t
2
e
3t
}
Soluci´on - Sabemos que:
L {t
2
} =
2!
s
3
=
2
s
3
Logo, aplicando a primeira propriedade de transla¸c˜ao, vamos encontrar:
L {t
2
e
3t
} =
2
(s − 3)
3
Ejemplo 7 - Encontre L {e
−3t
(2 cos 4t − 4 sen 4t)}
Soluci´on - Sabemos que:
L {(2 cos 4t − 4 sen 4t)} = 2
s
s
2
+ 16
− 4
4
s
2
+ 16
=
2 s − 16
s
2
+ 16
Entonces, aplicando la primera propiedad de translaci´on, encontraremos:
L {e
−3t
(2 cos 4t − 4 sen 4t)} =
2 (s + 3) − 16
(s + 3)
2
+ 16
Ejemplo 8 - Encontre L {e
3t
cosh 4t}
Soluci´on - Podemos escribir eso:
L {e
3t
cosh 4t} = L
e
3t
e
4t
+ e
−4t
2
=
1
2
L
e
7t
+ e
−t
=
1
2
1
s − 7
+
1
s + 1
=
s − 3
s
2
− 6s − 7
Ejemplo 9 - Encontre L {e
3t
cos
2
4t}
Soluci´on - Recordemos eso:
cos
2
t =
1 + cos2t
2
4
2 PROPIEDADES
Teniendo esto en cuenta, tenemos:
L {cos
2
4t} = L
1 + cos 8t
2
=
1
2
L {1 + cos 8t}
=
1
2
1
s
+
s
s
2
+ 64
Ahora aplicando la primera propiedad, tenemos que reemplazar todas las ”s”
de la expresi´on anterior con ”s - 3”, o
L {e
3t
cos
2
4t} =
1
2
1
s − 3
+
s − 3
(s − 3)
2
+ 64
2.3 Segunda propiedad de translaci´on
Se L {f(t)} = F (s) e
g(t) =
f(t − a), se t > a,
0, se t < a.
Entonces, para encontrar la transformaci´on g(t), usamos:
L {g(t)} = e
−as
F (s)
Ejemplo 10 - Encontre L {f (t)} se
f(t) =
cos(t −
2π
3
), se t >
2π
3
0, se t <
2π
3
Soluci´on - Ya lo sabemos:
L {cos t} =
s
s
2
+1
y por la propiedad 2.3 tenemos a =
2π
3
, entonces:
L
cos (t −
2π
3
)
= e
−
2π
3
s
s
s
2
+ 1
=
s e
−
2π
3
s
s
2
+ 1
Ejemplo 11 - Encontre L {f (t)} se
f(t) =
3 t, se 0 ≤ t ≤ 4
3, se t > 4
5
2 PROPIEDADES
Soluci´on - Como:
L {3 t} = 3 L {t} =
3
s
2
Este valor de la transformaci´on encontrada, se aplica solo al intervalo dado en el
problema. Cuando t = 4, el valor de f(t) ser´a f(4) = 12. Pero para t > 4 a f(t)
ser´a igual a 3 (una cantidad constante). Por lo tanto, debemos restar 9 del valor
de f (4). Entonces, nos queda la siguiente soluci´on:
L {f (t)} =
3
s
2
(1 − e
−4s
) −
9
s
e
−4s
observe que
9
s
es el valor de (12 − 3) L {1}. E e
−4s
nos dice que este valor
solo es v´alido desde t > 4.
En la Figura 1 a continuaci´on, podemos verificar la forma de onda de la funci´on
f(t).
Figura 1: Gr´afico da fun¸c˜ao f(t)
Trabajo en progreso.
Esperar actualizaciones!!!
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