Transformadas de Laplace
by Prof. Claudir Barbieri
1 Introdu¸c˜ao
Neste trabalho estamos interessados em calcular algumas transformadas de
Laplace usando os m´etodos adequados. Para tanto, vamos definir a transformada
de Laplace como:
F (s) = L {f(t)} =
Z
∞
0
f(t) e
−st
dt
Exemplo 1 - Calcule a transformada de Laplace de L {1}.
Solu¸c˜ao -
Temos que f(t) = 1, ent˜ao aplicando a defini¸c˜ao temos:
F (s) = L {1} =
Z
∞
0
1. e
−st
dt = −
1
s
e
−st
∞
0
=
1
s
Pela simplicidade da transformada de Laplace de uma constante, podemos
generalizar para qualquer constante, ou:
F (s) = L {cte} =
cte
s
Exemplo 2 - Calcule a transformada de Laplace de L {t}.
Solu¸c˜ao -
Temos que f(t) = t, ent˜ao aplicando a defini¸c˜ao temos:
F (s) = L {t} =
Z
∞
0
t. e
−st
dt =
1
s
2
Para o caso de polinˆomios podemos generalizar com a seguinte equa¸c˜ao:
F (s) = L {t
n
} =
n!
s
n+1
Exemplo 3 - Calcule a transformada de Laplace de L {e
at
}.
Solu¸c˜ao -
Temos que f(t) = e
at
, ent˜ao aplicando a defini¸c˜ao temos:
F (s) = L {e
at
} =
Z
∞
0
e
at
e
−st
dt =
Z
∞
0
e
(a−s)t
dt =
1
a − s
e
(a−s)t
∞
0
Logo, conclu´ımos que para a fun¸c˜ao exponencial a transformada de Laplace ´e
dada por:
F (s) = L {e
at
} =
1
s − a
Agora, lembrando a f´ormula de Euler:
e
iθ
= cos θ + i senθ
Usando esta equa¸c˜ao como referˆencia, vamos encontrar a transformada de La-
place para as fun¸c˜oes seno e cosseno.
Exemplo 4 - Calcule a transformada de Laplace de L {sen ωt} e L {cos ωt}.
Solu¸c˜ao -
Temos que f(t) = e
iωt
, ent˜ao aplicando o valor encontrado no exemplo 3, temos:
F (s) = L {e
iωt
} =
1
s − iω
Pela propriedade conhecida dos n´umeros complexos, vamos multiplicar o nume-
rador e denominador da fra¸c˜ao pelo complexo conjugado do denominador. Desta
forma, ficamos com:
F (s) = L {e
iωt
} =
1
s − iω
s + iω
s + iω
=
s + iω
s
2
+ ω
2
Trabalhando algebricamente o resultado, podemos escrever:
F (s) = L {e
iωt
} =
s
s
2
+ ω
2
+
iω
s
2
+ ω
2
Ora, comparando este resultado com a f´ormula de Euler, vista anteriormente,
conclu´ımos que:
F (s) = L {sen ω t} =
s
s
2
+ ω
2
F (s) = L {cos ω t} =
ω
s
2
+ ω
2
2 Propriedades
Para continuar nossos estudos, vamos enunciar algumas propriedades das
transformadas de Laplace que facilitar˜ao o c´alculo das transformadas.
2.1 Linearidade
A linearidade nos garante a seguinte igualdade:
F (s) = L {c.f(t)} = c. L {f (t)}
ou, tamb´em
L {c
1
. f(t) + c
2
. g(t)} = c
1
. L {f(t)} + c
2
. L {g(t)} = c
1
. F (s) + c
2
. G(s)
Exemplo 5 - Encontre L {3 sen 2 t + 4 e
3t
}
Solu¸c˜ao -
L {3 sen 2 t + 4 e
3t
} = 3 L {sen 2 t} + 4 L {e
3t
}
= 3
2
s
2
+ 4
+ 4
1
s − 3
=
4 s
2
+ 6 s − 2
(s
2
+ 4)(s − 3)
2.2 Primeira Propriedade de Transla¸c˜ao
Se L {f (t)} = F (s) ent˜ao
L {e
at
f(t)} = F (s − a)
Exemplo 6 - Encontre L {t
2
e
3t
}
Solu¸c˜ao - Sabemos que:
L {t
2
} =
2!
s
3
=
2
s
3
Logo, aplicando a primeira propriedade de transla¸c˜ao, vamos encontrar:
L {t
2
e
3t
} =
2
(s − 3)
3
Exemplo 7 - Encontre L {e
−3t
(2 cos 4t − 4 sen 4t)}
Solu¸c˜ao - Sabemos que:
L {(2 cos 4t − 4 sen 4t)} = 2
s
s
2
+ 16
− 4
4
s
2
+ 16
=
2 s − 16
s
2
+ 16
Assim, aplicando a primeira propriedade de transla¸c˜ao, vamos encontrar:
L {e
−3t
(2 cos 4t − 4 sen 4t)} =
2 (s + 3) − 16
(s + 3)
2
+ 16
Exemplo 8 - Encontre L {e
3t
cosh 4t}
Solu¸c˜ao - Podemos escrever que:
L {e
3t
cosh 4t} = L
e
3t
e
4t
+ e
−4t
2
=
1
2
L
e
7t
+ e
−t
=
1
2
1
s − 7
+
1
s + 1
=
s − 3
s
2
− 6s − 7
2.3 Segunda Propriedade de Transla¸c˜ao
Se L {f(t)} = F (s) e
g(t) =
f(t − a), se t > a,
0, se t < a.
Logo, para encontrarmos a transformada de g(t), usamos
L {g(t)} = e
−as
f(s)
Exemplo 9 - Encontre
Solu¸c˜ao - Podemos escrever que:
Trabalho em Andamento.
Aguarde Atualiza¸c˜oes!!!
